Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx與x軸交于點A，頂點B的坐標為（﹣2，﹣2）．

（1）求a，b的值；

（2）在y軸正半軸上取點C（0，4），在點A左側拋物線上有一點P，連接PB交x軸于點D，連接CB交x軸于點F，當CB平分∠DCO時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接PC，在PB上有一點E，連接EC，若∠ECB＝∠PDC，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a＝，b＝2；（2）P(﹣6，6)；（3）(﹣，)

【解析】

（1）根據頂點B的坐標及原點即可求出解析式；

（2）過點B作BH⊥y軸于點H，過點D作DG⊥CB于點G，先求出tan∠BCH＝，再根據CB平分∠DCO求出點D的坐標，得到直線BD的解析式，利用拋物線的解析式即可得到點P的坐標；

（3）過點P作PM⊥y軸于點M，過點B作BH⊥y軸于點H，證明△PMC≌△CHB得到∠CPB＝∠CBP＝45°，過點C作CN⊥CE，過點B作BN⊥BP，CN、BN交于點N，連接DN，證明△ECD≌△NCD得到DE＝DN，過點P作PK⊥x軸于點K，利用勾股定理求出PD，設ED＝t，作BQ⊥x軸于點Q，求出BD后根據勾股定理求出ED，作ER⊥x軸于點R，根據平行線所截線段成比例求出ER，再根據三角函數求出DR即可得到點E的坐標.

解：（1）拋物線的表達式為：y＝a（x+2）2﹣2＝ax2+4ax+4a﹣2，

故4a﹣2＝0，

解得：a＝，

b＝4a＝2；

（2）拋物線的表達式為：y＝x2+2x…①，

過點B作BH⊥y軸于點H，過點D作DG⊥CB于點G，

由點B、C的坐標得直線BC的表達式為：y＝3x+4，則點F（﹣，0），

∵點B（﹣2，﹣2），BH＝2，CH＝4+2＝6，則tan∠BCH＝＝tanα，

∵DG⊥BC，

∴∠FDG＝∠FCO＝α＝∠DCG，

在Rt△DFG中，設FG＝m，則DG＝3m，

則CG＝3DG＝9m，

CF＝9m﹣m＝8m＝,

解得：m＝，

DF＝，

OD＝OF+DF＝3，故點D（﹣3，0），

由點B、D的坐標可得，直線PB的表達式為：y＝﹣2x﹣6…②，

聯立①②并解得：x＝﹣2（舍去）或﹣6，

故點P（﹣6，6）；

（3）如圖2，過點P作PM⊥y軸于點M，過點B作BH⊥y軸于點H，

∵P（﹣6，6），

則PM＝OM＝6，

∴CM＝2，PM＝CH，

∴BH＝CM，

∵∠PMC＝∠BHC＝90°，

∴△PMC≌△CHB（HL），

∴CP＝CB，∠MPC＝∠BCH，

∵∠MPC+∠PCM＝90°，

∴∠BCH+∠PCM＝90°，

∴∠PCB＝90°，

∴∠CPB＝∠CBP＝45°，

過點C作CN⊥CE，過點B作BN⊥BP，CN、BN交于點N，連接DN，

則∠CBN＝90°﹣∠CPB＝45°，

∴∠CPB＝∠CBN，

∵∠ECN＝∠EBN＝90°，

∴∠CEB+∠CNB＝180°，

∵∠CEB+∠PEC＝180°，

∴∠CNB＝∠PEC，

∵PC＝CB，

∴△PEC≌△BNC（SAS），

則PE＝BN，CE＝CN，

∵∠ECB＝∠EDC+∠DCB，∠PDC＝∠DCB+∠CBD，∠ECB＝∠PDC，

∴∠ECD＝∠CBD＝45°，

∴∠DCN＝90°﹣∠ECD＝45°，

∴∠ECD＝∠DCN，

∵CD＝CD，

∴△ECD≌△NCD（SAS），

∴DE＝DN，

在Rt△DBN中，BD2+BN2＝DN2，則BD2+PE2＝DE2，

過點P作PK⊥x軸于點K，

∴PK＝KO＝6，

∵OD＝3，

∴KD＝3，

在Rt△PKD中，PD＝,

設ED＝t，則PE＝3﹣t，

過點B作BQ⊥x軸于點Q，則BQ＝OQ＝2，DQ＝OD﹣OQ＝1，

在Rt△BDQ中，BD＝＝，

故（）2+（3﹣t）2＝t2，

解得：t＝,

故DE＝，

過點E作ER⊥x軸于點R，則ER∥PK，

故，即 ,

解得：ER＝

∵∠EDR＝∠BDQ，

故tan∠EDR＝tan∠BDQ，

即：=2，

故DR＝，OR＝DR+OD＝+3＝，

故點E的坐標為：(﹣，)．