Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長.

小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題.
請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
(1)分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，求證：四邊形AEGF是正方形；
(2)設AD=x，建立關于x的方程模型，求出x的值.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）6.

試題分析：（1）先根據△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據對稱的性質得到AE=AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立關于x的方程模型（x-2）²+（x-3）²=5²，求出AD=x=6．
試題解析：（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
∴四邊形AEGF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴矩形AEGF是正方形．
（2）解：設AD=x，則AE=EG=GF=x．
∵BD=2，DC=3
∴BE=2，CF=3
∴BG=x-2，CG=x-3
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，
∴（x-2）²+（x-3）²=5²．
化簡得，x²-5x-6=0
解得x₁=6，x₂=-1（舍去）
所以AD=x=6．
考點:1. 翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理；3.正方形的判定.