Question

直角三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點A落在直角邊BC上，記落點為D，設折痕與AB、AC邊分別交于點E、點F．探究：如果折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形，那么紙片中∠B的度數是多少？寫出你的計算過程，并畫出符合條件的折疊后的圖形．

Answer 1

解：∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
設∠DAE=x°，由對稱性可知，AF=FD，AE=DE，
∴∠FDA=∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，
分類如下：
①當DE=DB時，∠B=∠DEB=2x°，
由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，
解得：x=22.5°．此時∠B=2x=45°；
見圖形（1），說明：圖中AD應平分∠CAB．
②當BD=BE時，則∠B=（180°-4x）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°-4x，
解得x=37.5°，此時∠B=（180-4x）°=30°．
圖形（2）說明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．
③DE=BE時，則∠B=（）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+，
此方程無解．
∴DE=BE不成立．
綜上所述∠B=45°或30°．
分析：先確定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因為不確定△BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形，故需討論，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分別利用角的關系得出答案即可．
點評：本題考查了翻折變換及等腰三角形的知識，有一定的綜合性，在不確定等腰三角形的腰時要注意分類討論，不要漏解，另外要注意方程思想在求解幾何問題中的應用．