Question

（2004•烏魯木齊）已知拋物線y=-x²+（m-4）x+2m+4與x軸相交于A（x₁，0），B（x₂，0）與y軸交于點C，且x₁=-2x₂（x₁＜x₂），點A關于y軸的對稱點為D．
（1）確定A，B，C三點的坐標；
（2）求過B，C，D三點的拋物線的解析式；
（3）若y=3與（2）小題中所求拋物線交于M，N，以MN為一邊，拋物線上任一點P（x，y）為頂點作為平行四邊形，若平行四邊形面積為S，寫出S與P點縱坐標y的函數關系式；
（4）當時，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有，請求出；若無，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，可得關于x的一元二次方程，根據根與系數的關系，可得x₁+x₂以及x₁x₂的值，聯立x₁=-2x₂即可求出A、B的坐標，而C點坐標為（0，2m+4），已知了m的值，也就得到了C點的坐標．
（2）由于A、D關于y軸對稱，根據點A的坐標即可求出點D的坐標；然后可根據B、C、D的坐標，由待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）易求得拋物線的頂點坐標為（3，-1），M（1，3），N（5，3），此題應分兩種情況：
①當-1≤y≤0時，那么點P到直線MN的距離為3+（-y）即3+|y|，而MN的長為4，則平行四邊形的面積S=4（3+|y|）；
②當y＞0時，點P到直線MN的距離為|3-y|，解法同①．
（4）首先根據自變量的取值范圍確定S、y的關系式，然后根據拋物線的解析式，用x替換掉y，即可得到關于S、x的函數關系式，根據函數的性質即可求出S的最大值．
解答：解：（1）由題意得，
解得m=7或m=2，
當m=7時，x₁=-6，x₂=3，x₁+x₂=-3≠3，
故m=7不合題意，舍去；
當m=2時，x₁=-4，x₂=2；
即：A（-4，0），B（2，0），C（0，8）．

（2）D（4，0）；
設過三點的拋物線為y=ax²+bx+c，
則有，
解得，
拋物線是y=x²-6x+8．

（3）∵拋物線y=x²-6x+8與直線y=3相交，
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4，
而拋物線頂點為（3，-1），
當y＞0時，S=4|y-3|；
當-1≤y≤0時，S=12+4|y|．

（4）使以MN為一邊，P（x，y）為頂點，且（）的平行四邊形面積最大，只要點P到MN的距離最大，所以滿足條件的平行四邊形的面積有最大值是16．
點評：此題考查了根與系數的關系、二次函數解析式的確定、平行四邊形面積的計算方法、二次函數最值的應用等知識，難度較大．