Question

已知：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=12，tanC=

4

3

，AM∥DC，E、F分別是線段AD、AM上的動點（點E與A、D不重合）且∠FEM=∠AMB，設DE=x，MF=y．
（1）求證：AM=DM；
（2）求y與x的函數關系式并寫出定義域；
（3）若點E在邊AD上移動時，△EFM為等腰三角形，求x的值；
（4）若以BM為半徑的⊙M和以ED為半徑的⊙E相切，求△EMD的面積．

Answer 1

分析：（1）此題要通過構造全等三角形求解，過M作MG⊥AD于G，則AG=BM，在Rt△ABM中，由∠AMB（即∠C）的正切值可求得BM的長，也就得到了AG的長，此時發現G是AD的中點，即可證得△MAG≌△MDG，由此可得到所求的結論．
（2）由于AD∥BC，易得∠MAE=∠FEM=∠AMB，即可證得△AEM∽△EFM，分別表示出ME²、MF、MA的長，根據相似三角形得到的比例線段即可得到y、x的函數關系式．
（3）根據三角形的外角性質知：∠EFM＞∠FAE=∠FEM，因此EM≠FM，所以分兩種情況討論即可：
①EF=EM，此時∠EFM=∠EMF，由于∠EFM=∠AEF=∠FEM+∠AEF，由此可證得AE=MA=10，由此可得到DE的長；
②EF=FM，此時∠FEM=∠EMF=∠EAM，即AE=EM，可令兩條線段的表達式相等，即可求得此時DE的長．
（4）此題要分兩種情況討論：
①兩圓外切，那么EM=BM+DE，分別表示出各線段的長，根據上面的等量關系列方程求得x的值，即可得到DE的長，以DE為底、AB為高即可得△EMD的面積；
②兩圓內切，方法同上．

解答：解：（1）證明：過點M作MG⊥AD交AD于G；
∵AM∥DC，∴∠AMB=∠C；
∵∠B=90°，AB=8，
∴tan∠AMB=tanC=

AB

BM

，
∴

4

3

=

8

BM

，∴BM=6；（1分）
∵AD∥BC，AB∥MG，
∴AG=BM=6，
∵AD=12，∴AG=GD，（1分）
∴△AGM≌△DGM，
∴AM=DM．（1分）

（2）∵∠FEM=∠AMB，∠AMB=∠MAE，
∴∠MAE=∠MEF，
∵∠AME=∠EMF，
∴△AEM∽△EFM；（1分）
∴

AM

EM

=

EM

FM

，
∵AM=

62+82

=10EM=

82+(x-6)2

，
∴

10

82+(x-6)2

=

82+(x-6)2

y

，
∴y=

1

10

x2-

6

5

x+10；（1分）
定義域為：0＜x＜12．（1分）

（3）∵∠EFM=∠MAE+∠AEF＞∠FEM，
∴EM≠FM，
∴若△EFM為等腰三角形，則EF=EM或EF=FM；（1分）
①當EF=FM時，
12-x=10，∴x=2；（2分）
②當EF=EM時，
∵∠FME=∠FEM=∠MAE，
∴AE=EM，
∴12-x=

82+(x-6)2

，
∴x=

11

3

．（2分）

（4）若⊙M與⊙E外切，則x+6=

82+(x-6)2

，
∴x=

8

3

，（1分）
∴S△EMD=

32

3

；（1分）
若⊙M與⊙E內切，則(x-6)=

82+(x-6)2

．
方程無解．（1分）

點評：此題考查了全等三角形的判定和性質、直角梯形的性質、以及相似三角形、全等三角形的判定和性質，圓與圓的位置關系等知識，綜合性強，難度較大．