Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，PA是⊙O切線，PC交⊙O于點D．

（1）求證：∠PAC＝∠ABC；

（2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝，CD＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為3

【解析】

（1）連接AO延長AO交⊙O于點E，連接EC．想辦法證明：∠B+∠EAC=90°，∠PAC+∠EAC=90°即可解決問題；
（2）連接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，連接OC，CF．設⊙O的半徑為x．求出OM，根據CM2=OC2-OM2=CF2-FM2構建方程即可解決問題；

（1）連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC．

∵AE是直徑，

∴∠ACE＝90°，

∴∠EAC+∠E＝90°，

∵∠B＝∠E，

∴∠B+∠EAC＝90°，

∵PA是切線，

∴∠PAO＝90°，

∴∠PAC+∠EAC＝90°，

∴∠PAC＝∠ABC．

（2）連接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，連接OC，CF．設⊙O的半徑為x．

∵∠BCD＝90°，

∴BD是⊙O的直徑，

∵OM⊥BC，

∴BM＝MC，，

∵OB＝OD，

∴OM＝CD＝1，

∵∠BAC＝∠BDC＝2∠ACB， ，

∴∠BDF＝∠CDF，

∴∠ACB＝∠CDF，

∴，

∴AB＝CF＝2，

∵CM2＝OC2﹣OM2＝CF2﹣FM2，

∴x2﹣12＝（2）2﹣（x﹣1）2，

∴x＝3或﹣2（舍），

∴⊙O的半徑為3．