Question

27、小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據題目要求幫小明完成探究．
（1）更換定理的題設和結論可以得到許多真命題．如圖1，在⊙0中，C是劣弧AB的中點，直線CD⊥AB于點E，則AE=BE．請證明此結論；
（2）從圓上任意一點出發的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，PA，PB組成⊙0的一條折弦．C是劣弧AB的中點，直線CD⊥PA于點E，則AE=PE+PB．可以通過延長DB、AP相交于點F，再連接AD證明結論成立．請寫出證明過程；
（3）如圖3，PA．PB組成⊙0的一條折弦，若C是優弧AB的中點，直線CD⊥PA于點E，則AE，PE與PB之間存在怎樣的數量關系？寫出結論，不必證明．

Answer 1

分析：（1）連接AD，BD，易證△ADB為等腰三角形，根據等腰三角形三線合一這一性質，可以證得AE=BE．
（2）根據圓內接四邊形的性質，先∠CDA=∠CDF，再證△AFD為等腰三角形，進一步證得PB=PF，從而證得結論．
（3）根據圓內接四邊形的性質，證得∠BAC=∠ABC，因為△ACB為等腰三角形，所以PB=PF，進而求得AE=PE-PB．

解答：證明：（1）連接AD，BD，
∵C是劣弧AB的中點，
∴∠CDA=∠CDB，
∴△ADB為等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴AE=BE；

（2）延長DB、AP相交于點F，再連接AD，
∵ADBP是圓內接四邊形，
∴∠PBF=∠PAD，
∵C是劣弧AB的中點，
∴∠CDA=∠CDF，
∵CD⊥PA，
∴△AFD為等腰三角形，
∴∠F=∠A，AE=EF，
∴∠PBF=∠F，
∴PB=PF，
∴AE=PE+PB

（3）AE=PE-PB．
連接AD，BD，AB，BD，DB、AP相交于點F，
∵弧AC=弧BC，
∴∠ADC=∠BDC，
∵CD⊥AP，
∴∠DEA=∠DEF，∠ADE=∠FED，
∵DE=DE，
∴△DAE≌△DFE，
∴AD=DF，AE=EF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DFA=∠PFB，∠PBD=∠DAP，
∴∠PFB=∠PBF，
∴PF=PB，
∴AE=PE-PB；

點評：此題主要考查了垂徑定理及其推論，垂徑定理-在5個條件中，1．平分弦所對的一條弧；2．平分弦所對的另一條弧；3．平分弦；4．垂直于弦；5．經過圓心（或者說直徑）．只要具備任意兩個條件，就可以推出其他的三個．