Question

【題目】如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接．

（1）求證：

（2）連接，其中

①當(dāng)四邊形是菱形時(shí),求線段與線段之間的距離；

②若點(diǎn)是的內(nèi)心，連接，直接寫(xiě)出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①線段與線段之間的距離為，②．

【解析】

（1）根據(jù)已知，利用SAS即可證明；

（2）①因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以AE與DF的距離等于AD與EF之間的距離，即CD為所求，再利用勾股定理即可求解；

②如圖作出輔助線，根據(jù)△ABE△DCF（SAS），的取值范圍即可轉(zhuǎn)化為在△ABE中進(jìn)行求解，找到E點(diǎn)在B、C兩點(diǎn)臨界處的∠AED的取值范圍，利用三角形內(nèi)角和=180，即可求得．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC， ∠B=∠BCD=90，

∴∠B=∠DCF=90，

∵BE=CF，

∴△ABE△DCF（SAS）．

（2）解：①∵四邊形AEFD是菱形，

∴ AE與DF的距離等于AD與EF之間的距離，即CD的長(zhǎng)，

∵AC=，BC=AD=6，在△ADC中，

∴，

∴線段AE與線段DF之間的距離為．

②∵△ABE△DCF，

∴△DCF的內(nèi)心即為△ABE的內(nèi)心，

如圖：作出∠AEB、∠ABE的角平分線BQ、EQ，

則∠BQE=∠CIF, ∠BQE即為所求，

∵∠ABE恒等于90，

∴∠ABE恒等于45，

∵當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B處時(shí)，∠AEB=90，

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C處時(shí)，在Rt△ABE 中，AB=AC，知∠AEB=30，

∴所以30∠AEB，

∴15∠AEB，

∴ ∠ABE+∠AEB，

即∠ABE+∠AEB，

而∠BQE=180-∠ABE+∠AEB，

∴∠BQE，

即∠BQE．

即∠CIF．

故 90∠CIF．