Question

在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在x軸的負半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且OA=1，OC=2．將矩形OABC繞點O順時針旋轉90°，得到矩形DEFG（如圖1）．
（1）若拋物線y=-x²+bx+c經過點B和F，求此拋物線的解析式；
（2）將矩形DEFG以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向平移，平移t秒時，所成圖形如圖2所示．
①圖2中，在0＜t＜1的條件下，連接BF，BF與（1）中所求拋物線的對稱軸交于點Q，設矩形DEFG與矩形OABC重合部分的面積為S₁，△AQF的面積為S₂，試判斷S₁+S₂的值是否發生變化？如果不變，求出其值；
②在0＜t＜3的條件下，P是x軸上一點，請你探究：是否存在t值，使以PB為斜邊的Rt△PFB與Rt△AOC相似？若存在，直接寫出滿足條件t的值及點P的坐標；若不存在，請說明理由（利用圖3分析探索）．

Answer 1

分析：（1）首先確定點B、F的坐標，將點的坐標代入函數解析式，解方程組即可求得；
（2）①首先求得對稱軸，根據題意用t表示出S₁、S₂的值即可求得．
②利用相似三角形的性質即可求得：過點F作FP⊥FB，FP交x同于點P，延長FE交AB于點M，
要使Rt△PFB∽Rt△AOC，只要FB：FP=2：1即可，而Rt△BMF∽Rt△PGF，所以根據

FB

FP

=

FM

FG

只需

FM

FG

=

2

1

，列出方程解答即可求出此時點P的坐標．

解答：解：（1）B（-1，2），F（2，1）
∵拋物線y=-x²+bx+c經過點B和F，
∴

-1-b+c=2 -4+2b+c=1

-b+c=3 2b+c=5

b= 2 3 c= 11 3

所求拋物線y=-x²+

2

3

x+

11

3

（3分）

（2）①如圖，連接AQ，AF，延長FE交AB于點M，
由題意得：OD=t，FM=3-t，
（1）中所求拋物線的對稱軸為直線x=

1

3

（4分）
∴S₁=DE•OD=t（5分）
S₂=S_△AFB-S_△AQB=

1

2

•2•（3-t）-

1

2

•2•

4

3

，
即S2=

5

3

-t
∴S₁+S₂=

5

3

S₁+S₂的值不變（7分）
②存在滿足題意的t值，t₁=1，t₂=

5

2

，此時點P的坐標為（

1

2

，0）及（-

5

2

，0）（12分）
（說明：寫出一個t值及對應的點P坐標，給3分）
下面給出求t值及點P坐標的一種思路，供參考．如圖1，
過點F作FP⊥FB，FP交x同于點P，延長FE交AB于點M，
要使Rt△PFB∽Rt△AOC，
只要FB：FP=2：1，
而Rt△BMF∽Rt△PGF，
∴

FB

FP

=

FM

FG

只須

FM

FG

=

2

1

，即3-t=2，t=1
此時點P的坐標為(

1

2

，0)
要使Rt△PFB∽Rt△AOC，只要FB：FP=1：2，
同理只需

FM

FG

=

1

2

，
即

3-t

1

=

1

2

，t=

5

2

，
此時矩形DEFG所在位置如圖2所示，點P的坐標為（-

5

2

，0）．
∴t₁=1，t2=

5

2

，
故點P的坐標為（

1

2

，0）及（-

5

2

，0）．

點評：此題考查了二次函數與四邊形的綜合知識，解題時要仔細審題，理解題意；特別是要注意數形結合思想與方程思想的應用．