Question

24、如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90度．
（1）操作并觀察，如圖，將三角板的45°角的頂點與點C重合，使這個角落在∠ACB的內部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點，然后將這個角繞著點C在∠ACB的內部旋轉，觀察在點E、F的位置發生變化時，AE、EF、FB中最長線段是否始終是EF？寫出觀察結果．
（2）探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形？如果能，試加以證明．

Answer 1

分析：（1）在E點，F點的位置發生變化時，AE，EF，FB中最長線斷始終是EF；
（2）如圖，△ACE繞C旋轉90度到△CBM的位置，連接FM．根據作法知道△ACE≌△BCM，然后根據全等三角形的性質可以得到CE=CM，∠ACE=∠BCM，∠A=∠CBM=45°，AE=BM，再根據已知∠ACB=90°，∠ECF=45°，可以證明△ECF≌△MCF，然后利用全等三角形的性質就可以證明△BMF是直角三角形，從而證明題目的結論．

解答：解：（1）觀察結果是：當45°角的頂點與點C重合，并將這個角繞著點C在重合，并將這個角繞著點C在∠ACB內部旋轉時，AE、EF、FB中最長線段始終是EF．（3分）
（2）AE、EF、FB這三條線段能組成以EF為斜邊的直角三角形．（4分）
證明如下：
在∠ECF的內部作∠ECG=∠ACE，使CG=CA，連接EG、FG（5分）
又∵CE=CE
則△ACE≌△GCE（SAS），
∴∠1=∠A（8分）
同理：△CGF≌△CBF，∴∠2=∠B（9分）
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∴∠1+∠2=90°（10分）
∴∠EGF=90°（11分）
∴AE、EF、FB這三條線段能組成以EF為斜邊的直角三角形．（12分）

點評：此題是開放性試題，利用等腰直角三角形的性質來探究圖形變換的規律，最后利用旋轉法證明探究的規律．