Question

如圖，△ABC中，已知AB=AC，△DEF是△ABC的內接正三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，則用β、γ表示α的關系式是

α=

β+γ

2

．

Answer 1

分析：先根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理可知∠A+2∠B=180°，由α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，△DEF是等邊三角形可知∠1=120°-β，∠2=120°-γ，由三角形內角和定理可知∠A+∠1+γ=180°，∠B+α+∠2=180°，再把所得式子聯立即可求出α、β、γ的關系．

解答：解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A+2∠B=180°①，
∵△DEF是等邊三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，
∴∠1=120°-β，∠2=120°-γ，
在△AEF中，∠A+∠1+γ=180°，即∠A+120°-β+γ=180°②，
在△BDF中，∠B+α+∠2=180°，即∠B+α+120°-γ=180°③，
①②③聯立，解得α=

β+γ

2

．
故答案為：α=

β+γ

2

．

點評：本題考查的是等邊三角形及等腰三角形的性質，解答此類題目時往往用到三角形的內角和是180°是解答此題的關鍵．