Question

如圖，BC是半圓的直徑，ADBC，垂足為點D，弧BA=弧AF，BF與AD交于點E．

（1）求證：AE=BE；
（2）若點A、F把半圓三等分，BC=12，求AE的長．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）．

試題分析：（1）連AC，BC為直徑，則∠BAC=90°，AD⊥BC，得∠C=∠BAE．由=，可得∠C=∠ABF，所以∠ABE=∠BAE，從而證得AE=BE；
（2）A，F把半圓三等分，則∠ACB=30°，由BC=12，得到AB=6，則AC=，所以AD=，由∠BAD=30°，得到∠ABE=∠DBE=30°，故BD=3，DE=．
解答：（1）證明：連AC，如圖，∵BC為直徑，則∠BAC=90°，∴∠C+∠ABC=90°，又∵AD⊥BC，∴∠BAE+∠ABC=90°，∴∠C=∠BAE，由=，可得∠C=∠ABF，∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE；

（2）∵A，F把半圓三等分，∴∠ACB=30°，在直角三角形ABC中，BC=12，則AB=BC=6，AC=AB=．在直角三角形ADC中，AD=AC=．∴AD=，∵∠C=∠ABF，∠ABE=∠BAE，∴∠ABE=∠BAE=30°，∠BED=30°，∴BD=3，ED=，∴AE=BE=．