Question

（2012•路南區一模）如圖①，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，點P是線段AC上的動點（點P與點A、點C不重合），連接BP．將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，連接AA₁，直線AA₁分別交直線PB、直線BB₁于點E，F．
（1）如圖①，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△APA₁與△BPB₁始終存在

相似

關系（填“相似”或“全等”），同時可得∠A₁AP

=

∠B₁BP（填“=”或“＜”“＞”關系）．請說明△BEF與△AEP之間具有相似關系；
（2）如圖②，設∠ABP=β，當120°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數量關系；若不存在，請說明理由；
（3）如圖③，當α=120°時，點E、F與點B重合．已知AB=4，設AP=x，S=△A₁BB₁面積，求S關于x的函數關系式

Answer 1

分析：（1）由旋轉角相等得到一對角相等，且兩對邊相等，可得出三角形APA₁與三角形BPB₁為頂角相等的等腰三角形，利用內角和定理得到底角相等，再根據對頂角相等，等量代換得到一對角相等，又一對角為公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似即可得到三角形BEF與三角形AEP相似；
（2）存在，理由為：由（1）得出三角形BEF與三角形AEP相似，要使兩三角形全等，只需找出一對角相等，即BE=AE即可，此時利用等邊對等角得到一對角相等，由AB=BC，∠ABC=120°，求出∠BAC的度數，表示出∠PAA₁的度數，由∴∠BAE=∠ABP=∠BAC-∠PAA₁，將各自的值代入即可列出兩三角形全等時，α與β滿足的關系；
（3）過點P做PH⊥AA₁于點H，過點B做BM⊥B₁A₁交B₁A₁的延長線于點M，如圖③所示，由旋轉的性質得到△APB≌△A₁PB₁，根據全等三角形的對應邊相等，對應角相等得到∠BAP=∠B₁A₁P，AB=A₁B₁=4，由∠APA₁=α=120°，利用三角形的內角和定理得到∠BAP=∠PA₁A=∠B₁A₁P=30°，進而得到∠AA₁D=∠BA₁M=60°，在Rt△PHA和Rt△BM A₁中，利用銳角三角函數定義由x表示出AH，AA₁，表示出A₁B，利用銳角三角形函數定義表示出BM，三角形A₁BB₁為B₁A₁為底邊，BM為高，利用三角形的面積公式即可列出S關于x的函數解析式．

解答：解：（1）∵∠APA₁=∠BPB₁=α，AP=A₁P，BP=B₁P，
∴∠PAA₁=∠PBB₁=

1

2

（180°-α）=90°-

α

2

，
∵∠PBB₁=∠EBF，
∴∠EBF=∠PAE，又∠BEF=∠AEP，
∴△BEF∽△AEP；
故答案為：相似，=；
（2）存在，同上可證△BEF∽△AEP，
∴若要使得△BEF≌△AEP，只需滿足BE=AE即可，
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠ABC=120°，AB=BC，∠APA₁=α，AP=A₁P，
∴∠BAC=30°，∠PAA₁=90°-

α

2

，
∴∠BAE=∠ABP=∠BAC-∠PAA₁，
∴β=30°-（90°-

α

2

）=

α

2

-60°，
則當△BEF≌△AEP時，β=

α

2

-60°（或α=2β+120°）；
（3）過點P做PH⊥AA₁于點H，
過點B做BM⊥B₁A₁交B₁A₁的延長線于點M，
∵△APB≌△A₁PB₁，
∴∠BAP=∠B₁A₁P，AB=A₁B₁=4，
∵∠APA₁=α=120°，
∴∠BAP=∠PA₁A=∠B₁A₁P=30°，
∴∠AA₁D=∠BA₁M=60°，
∴在Rt△PHA和Rt△BM A₁中，AP=x，AH=

3

2

x，AA₁=

3

x，
∴A₁B=AB-AA₁=4-

3

x，
∴BM=A₁Bsin60°=

3

2

（4-

3

x）=2

3

-

3

2

x，
則S=

1

2

A₁B₁•BM=

1

2

×4×（2

3

-

3

2

x）=4

3

-3x．

點評：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．