Question

已知：如圖，直線y=-

3

4

x+3交x軸于O₁，交y軸于O₂，⊙O₂與x軸相切于O點，交直線O₁O₂于P點，以O₁為圓心，O₁P為半徑的圓交x軸于A、B兩點，PB交⊙O₂于點F，⊙O₁的弦BE=BO，EF的延長線交AB于D，連接PA、PO．
（1）求證：∠APO=∠BPO；
（2）求證：EF是⊙O₂的切線；
（3）EO₁的延長線交⊙O₁于C點，若G為BC上一動點，以O₁G為直徑作⊙O₃交O₁C于點M，交O₁B于N．下列結論：①O₁M•O₁N為定值；②線段MN的長度不變．只有一個是正確的，請你判斷出正確的結論，并證明正確的結論，以及求出它的值．

Answer 1

（1）連接O₂F．
∵O₂P=O₂F，O₁P=O₁B，
∴∠O₂PF=∠O₂FP，∠O₁PB=∠O₁BP，
∴∠O₂FP=∠O₁BP．
∴O₂F∥O₁B，
得∠OO₂F=90°，
∴∠OPB=

1

2

∠OO₂F=45°．
又∵AB為直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠APO=∠BPO=45°．

（2）延長ED交⊙O₁于點H，連接PE．
∵BO為切線，
∴BO²=BF•BP．
又∵BE=BO，
∴BE²=BF•BP．
而∠PBE=∠EBF，
∴△PBE∽△EBF，
∴∠BEF=∠BPE，
∴BE=BH，有AB⊥ED．
又由（1）知O₂F∥O₁B，
∴O₂F⊥DE，
∴EF為⊙O₂的切線．

（3）MN的長度不變．
過N作⊙O₃的直徑NK，連接MK．則∠K=∠MO₁N=∠EO₁D，
且∠NMK=∠EDO₁=90°，
又∵NK=O₁E，
∴△NKM≌△EDO₁，
∴MN=ED．
而OO₁=4，OO₂=3，
∴O₁O₂=5，
∴O₁A=8．即AB=16，
∵EF與圓O₂相切，
∴O₂F⊥ED，
則四邊形OO2FD為矩形，
∴O₂F=OD，又圓O₂的半徑O₂F=3，
∴OD=3，
∴AD=7，BD=9．
ED²=AD•BD，
∴ED=3

7

．
故MN的長度不會發生變化，其長度為3

7

．