Question

【題目】(2016山東濰坊第24題)如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F．

（1）如圖1，連接AC分別交DE、DF于點M、N，求證：MN=AC；

（2）如圖2，將△EDF以點D為旋轉中心旋轉，其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點G、P，連接GP，當△DGP的面積等于3時，求旋轉角的大小并指明旋轉方向．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）將△EDF以點D為旋轉中心，順時針或逆時針旋轉60°時，△DGP的面積等于3．

【解析】

試題分析：（1）連接BD，易證△ABD為等邊三角形，由等腰三角形的三線合一得到AE=EB，根據相似三角形的性質解答即可；（2）分∠EDF順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況，根據旋轉變換的性質解答即可．

試題解析：（1）證明：如圖1，連接BD，交AC于O，

在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∵DE⊥AB，

∴AE=EB，

∵AB∥DC，

∴==，

同理， =，

∴MN=AC；

（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，

∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，

∴∠EDF=60°，

當∠EDF順時針旋轉時，

由旋轉的性質可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，

DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，

在△DEG和△DFP中，

，

∴△DEG≌△DFP，

∴DG=DP，

∴△DGP為等邊三角形，

∴△DGP的面積=DG2=3，

解得，DG=2，

則cos∠EDG==，

∴∠EDG=60°，

∴當順時針旋轉60°時，△DGP的面積等于3，

同理可得，當逆時針旋轉60°時，△DGP的面積也等于3，

綜上所述，將△EDF以點D為旋轉中心，順時針或逆時針旋轉60°時，△DGP的面積等于3．