Question

(2006北京課改，24)已知拋物線與y軸交于點A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點D為線段OA的一個三等分點，求直線DC的解析式；

(3)若一個動點P自OA的中點M出發，先到達x軸上的某點(設為點E)，再到達拋物線的對稱軸上某點(設為點F)，最后運動到點A，求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)根據題意，c=3， 所以解得 所以　拋物線解析式為． (2)依題意可得OA的三等分點分別為(0，1)，(0，2)． 設直線CD的解析式為y=kx＋b． 當點D的坐標為(0，1)時，直線CD的解析式為； 當點D的坐標為(0，2)時，直線CD的解析式為． (3)如圖，由題意，可得．點M關于x軸的對稱點為，點A關于拋物線對稱軸x=3的對稱點為． 連結． 根據軸對稱性及兩點間線段最短可知，的長就是所求點P運動的最短總路徑的長． 所以與x軸的交點為所求E點，與直線x=3的交點為所求F點． 可求得直線的解析式為． 可得E點坐標為(2，0)，F點坐標為． 由勾股定理可求出． 所以點P運動的最短總路徑(ME＋EF＋FA)的長為．