Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A9m,0、Bm,0m0，以AB為直徑的⊙M交y軸正半軸于點C，CD是⊙M的切線，交x軸正半軸于點D，過A作AECD于E，交⊙于F.

（1）求C的坐標；（用含m的式子表示）

（2）①請證明：EFOB；②用含m的式子表示AFC的周長；

（3）若，，分別表示的面積，記，對于經過原點的二次函數，當時，函數y的最大值為a，求此二次函數的解析式.

Answer 1

【答案】（1）C(0,3m)；

（2）①證明見解析；②8m+；

(3) 或

【解析】

(1)連接MC，先得出MC=5m，MO=4m，再由勾股定理得出OC=3m，即可得出點C的坐標；

（2）①由弦切角定理得∠ECF=∠EAC,再證出FC=BC，再證出△CEF≌△COB，可得到EF=OB;

②由△CEF≌△COB可得AE=AO，用勾股定理求出AC、BC.再用等量代換計算可得到AFC的周長

（3）先用三角函數求出OD，再用勾股定理列出方程，得到m=1，從而求得的面積，再求出k值。再根據二次函數的性質列出方程求得a的值，從而問題得解。

解：（1）連接MC，

∵A9m,0、Bm,0m0，

∴AB=10m,MC=5m，MO=4m

由勾股定理得

解得：OC=3m

∴C(0,3m)

（2）①證明：連接CF，

∵CE是⊙M的切線，

∴∠ECF=∠EAC,

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°

∴∠CAB=∠BCO,

∵A,F,C,B共圓，

∴∠EFC=∠OBC,

又∵AE⊥CE

∴∠CEF=∠BOC=90°,

∴∠ECF=∠BCO,

∴∠EAC=∠CAB

∴CF=CB

在△CEF和△COB中

∴△CEF≌△COB

∴EF=BO

②∵△CEF≌△COB

∴CE=CO,

∴△ACE≌△ACO(HL)

∴AE=AO

∵

AFC的周長=AF+FC+AC=AE-EF+FC+AC

=AO-BO+FC+AC

=9m-m++

=8m+

(3)∵CD是⊙M的切線，

易證∠OCD=∠OMC

∴sin∠OMC= sin∠OCD

即

得

在Rt△OCD中，

而CO=3m

∴m=1

∴AF=8,CE=3,

∴

二次函數的圖象過原點，則c=0

得

對稱軸為直線

當時，即

分兩種情況，a＜0時，由函數的性質可知，時，y=a，

∴

解得

∴此二次函數的解析式為：

A＞0時，由函數的性質可知，x=4時，y=a，

∴a=16a-4

解得

∴此二次函數的解析式為：

綜上，此二次函數的解析式為：或

故答案為：或