Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，取EF的中點G，連接CG，BG，BD，DG，下列結論：

①BE＝CD；

②∠DGF＝135°；

③△BEG≌△DCG；

④∠ABG+∠ADG＝180°；

⑤若，則3S△BDG＝13S△DGF．

其中正確的結論是_____．（請填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①③④⑤

【解析】

①根據矩形的性質可得出∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，再由角平分線的性質可得出∠BAE=45°，通過角的計算即可得出∠BAE=∠BEA，從而得出AB=BE=CD，即①正確；②根據平行線的性質以及對頂角相等可得出△CEF為等腰直角三角形，由此得出∠CGF=90°，∠FCG=45°，根據三角形外角的性質可得出∠CGD＜45°，再由角的關系即可得出∠DGF=∠CGD+∠CGF＜135°，即②不正確；③通過角的計算可得出∠BEG=∠DCG，再根據等腰直角三角形的性質可得出CG=EG，由此即可利用全等三角形的判定定理（SAS）證出△BEG≌△DCG，即③正確；④由③可得出∠EBG=∠CDG，根據角的計算即可得出∠ABG+∠ADG=180°，即④正確；⑤過點G作GM⊥DF于點M，設AB=2a（a＞0），則AD=3a，利用分割圖形求面積法結合三角形的面積公式可算出S△BDG和S△DGF的值，由此可得出⑤正確．綜上即可得出結論．

解：①∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，

∵AE是∠BAD的角平分線，

∴∠BAE＝∠DAE＝45°，

∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝45°＝∠BAE，

∴BE＝AB＝CD，①正確；

②∵AB∥CD，

∴∠CFE＝∠BAE＝45°，∠CEF＝∠AEB＝45°，

∴△CEF為等腰直角三角形，

∵點G為EF的中點，

∴CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°，

∵∠FCG＝∠CGD+∠CDG＝45°，

∴∠CGD＜45°，

∴∠DGF＝∠CGD+∠CGF＜45°+90°＝135°，②不正確；

③∵△CEF為等腰直角三角形，

∴CG＝EG．

∵∠BEG＝180°﹣∠CEF＝135°，∠DCG＝180°﹣∠FCG＝135°，

∴∠BEG＝∠DCG，

在△BEG和△DCG中，有，

∴△BEG≌△DCG（SAS），③正確；

④∵△BEG≌△DCG，

∴∠EBG＝∠CDG，

∵∠ABG＝∠ABC+∠EBG，∠ADG＝∠ADC﹣∠CDG，

∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠ADC＝180°，④正確；

⑤過點G作GM⊥DF于點M，如圖所示．

∵＝，

∴設AB＝2a（a＞0），則AD＝3a．

∵∠DAF＝45°，∠ADF＝90°，

∴△ADF為等腰直角三角形，

∴DF＝AD＝3a．

∵△CGF為等腰直角三角形，

∴GM＝CM＝CF＝（DF﹣CD）＝a，

∴S△DGF＝DFGM＝×3a×a＝．

S△BDG＝S△BCD+S梯形BGMC﹣S△DGM＝×2a×3a+×（3a+a）×a﹣×a×（2a+a）＝．

∴3S△BDG＝13S△DGF，⑤正確．

綜上可知：正確的結論有①③④⑤．

故答案為：①③④⑤．