Question

【題目】如圖所示，是等邊三角形，是外角平分線，點在上，連接并延長與交于點．

（1）求證：；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）先根據△ABC是等邊三角形及CE是∠ACF的平分線可得出∠ACE=∠A=60°，再根據∠ADB=∠EDC，即可得出△ABD∽△CED；
（2）作DH⊥BC于點H，由直角三角形的性質得出∠HDC=30°，由AB=AC=6，AD=2CD可得出CD=2，AD=4，由直角三角形的性質可求出DH、HC的長，進而得出BH的長，由勾股定理求出BD的長，根據求出DE的長，即可得出結論．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∵CE是∠ACF的平分線
∴∠ACE=∠A=60°，
又∵∠ADB=∠EDC
∴△ABD∽△CED；

（2）解：作DH⊥BC于點H，

∵∠ACB=60°，
∴∠HDC=30°
∵AC=6，AD=2CD，
∴CD=2，AD=4，
∵∠HDC=30°，
∴，
∴，

∵△ABD∽△CED，

∴，

∴DE=，

∴BE=BD+DF=2+=3．