Question

在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=-

1

2

x+5的圖象交x軸于點B，與正比例函數y=kx（k≠0）的圖象交于第一象限內的點A．（如圖①）
（1）以0、A、B三點為頂點畫平行四邊形，求這個平行四邊形第四個頂點C的坐標；（用含k的代數式表示）
（2）若以0、A、B、C為頂點的平行四邊形為矩形，求k的值；（圖②備用）
（3）將（2）中的矩形OABC繞點O旋轉，使點A落在坐標軸的正半軸上，求所得矩形與原矩形重疊部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由題意兩直線交于點A，利用方程求出A點，利用平行四邊形的性質：對角線的交點是兩條對角線的中點，利用中點坐標公式求C點的坐標；
（2）將平行四邊形轉化為矩形，首先要找到垂直關系，由題意及圖形幾何關系只有當0A⊥AB時才滿足題意，從而根據垂直條件求出k值；
（3）利用（2）的結論，由題意中的矩形OABC繞點O旋轉，使點A落在坐標軸的正半軸上，分兩種情況在y軸正半軸上或在x軸正半軸上，根據幾何關系易求重疊部分的面積．

解答：解：（1）

y=kx y=- 1 2 x+5

，
解得A(

10

2k+1

，

10k

2k+1

)，
當AC為對角線時，OB為另一條對角線，由平行四邊形的性質，OB的中點即為AC的中點，
設點B的中點坐標為（5，0）由中點坐標公式：

5= xA+xC 2 0= yA+yC 2

，
從而解得C點坐標記為：C₃（

20k

2k+1

，

10k

2k+1

），
同理可得：當0C為對角線時：C₁（

20k+20

2k+1

，

10k

2k+1

），

當BC為對角線時：C₂（

-20k

2k+1

，

10k

2k+1

）；

（2）點B（10，0）、D（0，5），
若以0、A、B、C為頂點的平行四邊形為矩形，由題設可知，只有當0A⊥AB時□OCBA為矩形如圖①，作AE⊥OB于E，
由△OAE∽△DBO得，

AE

OE

=

BO

DO

，所以

10k 2k+1

10 2k+1

=

10

5

，
解得k=2．

（3）當k=2時，A（2，4），則OA=2

5

，AB=4

5

，
①如圖②-1，當點A旋轉到y軸的正半軸上點A′處，點C旋轉到x軸的正半軸上點C處，
BC邊旋轉到B′C′位置，并與直線BD相交于點F，C′（4

5

，0），F（4

5

，5-2

5

），
所以S_陰影=S_△OAB-S_△BC′F=20

5

-25．
②如圖②-2，當點A旋轉到x軸的正半軸上點A′處，點C旋轉到y軸的負半軸上點C處，
AB邊旋轉到A′B′位置，并與邊OC相交于點G（2

5

，

5

），OA′=

1

2

OC，A′G=

1

2

BC，
所以S_陰影=

1

2

×

5

×2

5

=5．

點評：此題考查一次函數的性質及特殊點的坐標公式，中點坐標公式，還考查了平行四邊形和矩形的性質，還間接考查思維的嚴密性，學會分類討論，不要漏掉其他情況．