Question

【題目】如圖，在□ABCD中，點E是對角線BD上的一點，過點C作CF∥BD，且CF=DE，連接AE、BF、EF．

（1）求證：△ADE≌△BCF；

（2）若∠BFC－∠ABE=90°，判斷四邊形ABFE的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）矩形，證明見解析

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質求得AD=BC，∠ADB=∠DBC，由平行線的性質求得∠DBC=∠BCF，從而求得∠ADB=∠BCF，利用SAS定理判定三角形全等即可；

（2）先證明四邊形ABFE是平行四邊形，由△ADE≌△BCF，得出∠AED=∠BFC，由三角形的外角性質證出∠BAE=90°，從而判定四邊形ABFE為矩形．

證明：（1）∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

又∵CF∥DB，

∴∠DBC=∠BCF，

∴∠ADB=∠BCF，

又∵DE=CF，

∴△ADE≌△BCF；

（2）平行四邊形ABFE是矩形．

∵CF∥DE，CF=DE

∴四邊形 CDEF 是平行四邊形，

∴EF∥CD，EF=CD

∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB=CD

∴AB∥EF，AB=EF

∴四邊形 ABFE 是平行四邊形，

∵△ADE≌△BCF，

∴∠AED=∠BFC，

又∵∠BFC－∠ABE=90°，

∴∠AED－∠ABE=90°，

∵∠AED－∠ABE=∠BAE，

∴∠BAE=90°，

∴□ABFE是矩形．