Question

【題目】已知直線與交于A,B兩點,且點A的橫坐標為4,過原點O的另一條直線l交雙曲線于P,Q兩點(點P在第一象限),由點A,B,P,Q為頂點組成的四邊形面積為24,則點P的坐標為_________.

Answer 1

【答案】或（8，1）

【解析】

作PM⊥y軸于M，PN⊥x軸于N，AH⊥x軸于H，設P點坐標為（a，b），先確定A點坐標為（4，2），再利用A點坐標確定反比例函數解析式為y=，根據反比例函數的性質可得到四邊形APBQ為平行四邊形，則根據平行四邊形的性質得到S△OPA=S平行四邊形APBQ=6，由于S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH，化簡反比例函數的比例系數的幾何意義和梯形的面積公式有8+（2+b）（4-a）=4+6+4，再把b=代入得（2+）（4-a）=12，解得a1=2，a2=-8（舍去），當a=2，b==4，所以P點坐標為（2，4）．

作PM⊥y軸于M,PN⊥x軸于N,AH⊥x軸于H,如圖,

設P點坐標為(a,b)

把x=4代入y=x得y=2,則A點坐標為(4,2)，

把A(4,2)代入y=得k=4×2=8，

所以反比例函數解析式為y=，

∵點A與點B關于原點對稱，點P與點Q關于原點對稱，

∴OA=OB，OP=OQ，

∴四邊形APBQ為平行四邊形，

∴S△OPA=S平行四邊形APBQ=×24=6，

∵S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH，

∴8+(2+b)(4a)=4+6+4，

∵b=，

∴(2+)(4a)=12，

整理得a2+6a16=0,解得a1=2,a2=8(舍去)，

當a=2,b==4，

∴P點坐標為(2,4).

同理,當四邊形BQPA是平行四邊形時,點P的坐標是(8,1).

故答案為(2,4)或(8,1).