Question

對某一種四邊形給出如下定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．則∠C=          度，∠D=              度．

（2）在探究“等對角四邊形”性質時：

小紅畫了一個“等對角四邊形ABCD”（如圖2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發現CB=CD成立．請你證明此結論；

（3）已知：在“等對角四邊形ABCD”中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求對角線AC的長．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）∠D=80°，…………………………………………1

∠C=130°；…………………………………………2

（2）①如圖2，連接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB．………………………………………………3

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．

∴∠CBD=∠CDB．

∴CB=CD．………………………………………………………4

（3）（Ⅰ）如圖，當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，

∴AE=10．

∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6．……………………………………5

∵∠EDC=90°，∠E=30°，

∴CD=2．

∴AC=2．……………………………………………………6

（Ⅱ）如圖，當∠BCD=∠DAB=60°時，過點D作DM⊥AB于點M，

DN⊥BC于點N，

∵DM⊥AB，∠DAB=60°，AD=4，

∴AM=2，DM=2．

∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3．………………………………………7

∵四邊形BNDM是矩形，

∴DN=BM=3，BN=DM=2．

∵∠BCD=60°，

∴CN=．

∴BC=CN+BN=3．

∴AC=2．……………………………………………………8

即AC=2或2．