Question

16．已知，四邊形ABCD是長方形，F是DA延長線上一點，CF交AB于點E，G是CF上一點，且AG=AC，∠ACG=2∠GAF．
（1）若∠ACB=60°，求∠ECB的度數．
（2）若AF=12cm，AG=6.5cm，求△AEF中EF邊上的高？

Answer 1

分析 （1）由長方形的性質和等腰三角形的性質得出∠ACG=∠AGC，由已知條件得出∠AGC=∠GAF+∠F，得出∠F=∠FAG，∠ACG=2∠ECB，由∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠ECB=60°，即可得出結果；
（2）設△AEF中EF邊上的高為hcm，證出EG=AG=GF，由直角三角形斜邊上的中線性質得出EF=2AG=13（cm），由勾股定理求出AE，由三角形的面積即可得出結果．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是長方形，
∴DF∥BC，
∴∠AFC=∠ECB，
∵AC=AG，
∴∠ACG=∠AGC，
∵∠ACG=2∠GAF，∠AGC=∠GAF+∠F，
∴∠F=∠FAG，
∴∠ACG=2∠ECB，
∴∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠ECB=60°，
∴∠ECB=20°；
（2）設△AEF中EF邊上的高為hcm，
∵∠F=∠FAG，
∴AG=GF，
∵∠BAF=90°，
∴∠EAG+∠GAF=90°，∠AEF+∠EFA=90°，
∴∠EAG=∠AEG，
∴EG=AG=GF，
∴EF=2AG=2×6.5=13（cm），
∴AE=$\sqrt{E{F}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5（cm），
∵△AEF的面積=$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$EF•h，
解得：h=$\frac{60}{13}$cm，
即△AEF中EF邊上的高為$\frac{60}{13}$cm．

點評 本題考查了矩形的性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理、平行線的性質、直角三角形斜邊上的中線性質、三角形面積的計算方法；熟練掌握矩形和等腰三角形的性質是解決問題的關鍵．