Question

【題目】如圖，正方形ABCD（四邊相等，四個角都是直角）的邊長為4，點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線AD向點D運動；點Q從點D同時出發，以相同的速度沿射線AD方向向右運動，當點P到達點D時，點Q也停止運動，連接BP，過點P作BP的垂線交過點Q平行于CD的直線l于點E，BE于CD相交于點F，連接PF，設點P運動時間為t（s），

（1）求∠PBE的度數；

（2）當t為何值時，△PQF是以PF為腰的等腰三角形？

（3）試探索在運動過程中△PDF的周長是否隨時間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個定值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）t=2s或4s時，△PFQ是以PF為腰的等腰三角形（3）△PDF的周長是定值

【解析】試題分析：（1）如圖1中，只要證明△ABP≌△QPE，推出PB=PE即可求解．
（2）如圖2中，分兩種情形討論①當AP=PD時，可以推出△PFQ是等腰三角形，此時t=2．
②當點P與點D重合時，PF=CD=AD=DQ，△PFQ是等腰三角形，此時t=4．
（3）如圖3中，△PDF的周長是定值．將△BCF繞點B順時針旋轉90°得到△BAG，只要證明△PBG≌△PBF，推出PF=PG，推出PF=PA+AG=PA+CF，由此即可證明．

試題解析：

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠A=90°，

∵AP=DQ，

∴AD=PQ=AB，

∵PB⊥PE，

∴∠BPE=90°，

∴∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠EPQ=90°，

∴∠ABP=∠EPQ，

∴△ABP≌△QPE，

∴PB=PE，

∴∠PBE=∠PEB=45°．

（2）如圖2中，

①當AP=PD時，

∵AP=DQ，

∴DP=DQ，

∵FD⊥PQ，

∴PF=FQ，

∴△PFQ是等腰三角形，此時t=2．

②當點P與點D重合時，PF=CD=AD=DQ，△PFQ是等腰三角形，此時t=4．

綜上所述，t=2s或4s時，△PFQ是以PF為腰的等腰三角形．

（3）如圖3中，△PDF的周長是定值．

將△BCF繞點B順時針旋轉90°得到△BAG．

∵∠PBE=45°，∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠CBF=∠ABP+∠ABG=45°，

∴∠PBG=∠PBF，

在△PBG和△PBF中，

，

∴△PBG≌△PBF，

∴PF=PG，

∴PF=PA+AG=PA+CF，

∴△PDF的周長=PF+DP+DF=（PA+DP）+（DF+CF）=AD+CD=8．

∴△PDF的周長為定值．