Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CE=2DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF，下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③∠EAG=45°；④AG∥CF；⑤S△ECG：S△AEG=2：5，其中正確結論的個數是（　　）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：(1)用HL證明Rt△ABG≌Rt△AFG；(2)設BG＝FG＝x，在直角△ECG中，根據勾股定理列方程求解；(3)由∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，可求；(4)由∠GFC＝∠GCF和∠AGB＝∠AGF，∠AGB＋∠AGF＝∠GFC＋∠GCF＝2∠GCF，即可求證；(5)由三角形的面積公式分別求出這兩個三角形的面積.

詳解：①正確．理由：

∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)；

②正確．理由：

EF＝DE＝CD＝2，

設BG＝FG＝x，則CG＝6﹣x．

在直角△ECG中，根據勾股定理，得(6﹣x)2＋42＝(x＋2)2，

解得x＝3．∴BG＝3＝6﹣3＝CG；

③正確．理由：

∵∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，∠BAD＝90°，

∴∠EAG＝45°；

④正確．理由：

∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，

∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．

又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；

∴∠AGB＝∠AGF，

∠AGB＋∠AGF＝∠GFC＋∠GCF＝2∠GCF，

∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；

⑤正確．理由：

∵S△ECG＝GC·CE＝×3×4＝6，S△AEG＝AF·EG＝×6×5＝15，

∴S△ECG:S△AEG＝2:5．

故選D．