Question

觀察以下式子：

1

2

→

1+1

2+1

=

2

3

＞

1

2

，

5

4

→

5+2

4+2

=

7

6

＜

5

4

，

3

5

→

3+5

5+5

=

4

5

＞

3

5

，

7

2

→

7+3

2+3

=2＜

7

2

．請你猜想，將一個正分數的分子分母同時加上一個正數，這個分數的變化情況，并證明你的結論．

Answer 1

猜想：當一個分數的分子小于分母時，分子與分母同加上一個正數后所得的分數大于原來的分數，
當一個分數的分子大于分母時，分子與分母同加上一個正數后所得的分數小于原來的分數，
即設一個分數

b

a

（a、b均是正數）和一個正數m，
則

b

a

（a＞b）→

b+m

a+m

＞

b

a

，

b

a

（a＜b）→

b+m

a+m

＜

b

a

，
理由是：

b+m

a+m

-

b

a

=

a(b+m)-b(a+m)

a(a+m)

=

m(a-b)

a(a+m)

，
由于a、b、m均是正數，
所以當a＞b，即a-b＞0時，

b+m

a+m

-

b

a

＞0，
即

b+m

a+m

＞

b

a

，
當a＜b，即a-b＜0時，

b+m

a+m

-

b

a

＜0，
即

b+m

a+m

＜

b

a

．