Question

【題目】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，則AB，AD，DC之間的數(shù)量關(guān)系為_______．

（2）問題探究：如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）問題解決：如圖3，AB∥CD，點(diǎn)E在線段BC上，且BE:EC=3:4．點(diǎn)F在線段AE上，且∠EFD =∠EAB，直接寫出AB，DF，CD之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）AB+CD=AD；（2）詳見解析；（3）AB=(CD+DF ) ．

【解析】

（1）結(jié)論：AB+CD=AD．只要證明△CEF≌△BEA（AAS），推出AB=CF，再證明DA=DF即可解決問題．

（2）結(jié)論：AB=AF+CF．只要證明△CEG≌△BEA（AAS），推出AB=CG，再證明FA=FG即可解決問題．

（3）結(jié)論：AB=（CD+DF）．如圖3中，延長(zhǎng)AE交CD的延長(zhǎng)線于G．證明△CEG∽△BEA，推出AB=CG，再證明DF=DG即可解決問題．

（1）結(jié)論：AB+CD=AD．

理由：如圖1中，

∵AB∥CF，∴∠CFE=∠EAB，

∵CE=EB，∠CEF=∠AEB，∴△CEF≌△BEA（AAS），

∴AB=CF．

∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠EAB，

∵∠EAB=∠CFE，∴∠DAF=∠DFA，

∴AD=DF，

∵DF=DC+CF=CD+AB，

∴AB+CD=AD．

故答案為： AB+CD=AD．

（2）結(jié)論：AB=AF+CF

延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

∵ AB∥CD， ∴ ∠EAB=∠G， ∠B=∠BCG．

又 E是BC的中點(diǎn)， ∴ BE=CE．

∴ △ABE≌△GCE，∴ AB=CG．

∵ AE是∠BAF的平分線，

∴ ∠EAB=∠FAE， ∴ ∠G=∠FAE．

∴ AF=FG， ∴ CG=CF+FG= CF+AF．

∴ AB=AF+CF．

（3）結(jié)論：AB=(CD+DF ) ．

如圖3中，延長(zhǎng)AE交CD的延長(zhǎng)線于G．

∵CG∥AB，

∴△CEG∽△BEA，

∴ ，

∵∠G=∠A，

∴AB=CG，

∵∠DFE=∠A，

∴∠DFG=∠G，

∴DF=DG，

∴CD+DF=CD+DG=CG，

∴AB=（CD+DF）．