Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）．

（Ⅰ）求出點A、B的坐標；

（Ⅱ）當a＜0時，經過點A的直線l：y＝kx+a與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，點E是拋物線上的一個動點，且在直線l上方．

①若△ACE的面積的最大值為，求a的值；

②設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，當以點A、D、P、Q為頂點的四邊形構成矩形時，請直接寫出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）A（﹣1，0），B（3，0）；（Ⅱ）①﹣；②P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．

【解析】

（Ⅰ）令y＝0，則ax2﹣2ax﹣3a＝0，可求點A、B的坐標；

（Ⅱ）①先求直線l的解析式，點E（m，am2﹣2am﹣3a），求出直線AE解析式，由三角形的面積公式可求△ACE的面積＝×（m﹣）2﹣a，即可求解；

②分以AD為邊或對角線兩種情況討論即可．

解：（Ⅰ）令y＝0，則ax2﹣2ax﹣3a＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3

∵點A在點B的左側，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（Ⅱ）①∵直線l：y＝kx+a經過點A，

∴0＝﹣k+a，

∴k＝a，

∴直線l：y＝ax+a，

如圖1，過點E作EN⊥y軸，垂足為N，設AE與y軸的交點為M，

設點E（m，am2﹣2am﹣3a），yAE＝k1x+b，

則，

解得：，

∴yAE＝（am﹣3a）x+am﹣3a，M（0，am﹣3a）

∵MC＝am﹣3a﹣a＝am﹣4a，NE＝m

∴S△ACE＝S△ACM+S△CEM＝ [am﹣4a]×1+ [am﹣4a]m＝×（m﹣）2﹣a，

∵a＜0，

∴最大值﹣a＝，

∴a＝﹣；

②令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴D（4，5a），

∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴拋物線的對稱軸為x＝1，

設P1（1，m），

如圖2，若AD是矩形的一條邊，

由AQ∥DP知xD﹣xP＝xA﹣xQ，可知Q點橫坐標為﹣4，將x＝﹣4代入拋物線方程得Q（﹣4，21a），

m＝yD+yQ＝21a+5a＝26a，則P（1，26a），

∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90°，

∴AD2+PD2＝AP2，

∵AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，

PD2＝（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝32+（21a）2，

∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，

即a2＝，

∵a＜0，

∴a＝﹣，

∴P1（1，﹣）．

如圖3，若AD是矩形的一條對角線，

則線段AD的中點坐標為（，），Q（2，﹣3a），

m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，則P（1，8a），

∵四邊形AQDP為矩形，∴∠APD＝90°，

∴AP2+PD2＝AD2，

∵AP2＝[1﹣（﹣1）]2+（8a）2＝22+（8a）2，

PD2＝（4﹣1）2+（8a﹣5a）2＝32+（3a）2，

AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，

∴22+（8a）2+32+（3a）2＝52+（5a）2，

解得a2＝，

∵a＜0，

∴a＝﹣，

∴P2（1，﹣4）．

綜上可得，P點的坐標為P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．