Question

已知關于x一元二次方程有兩個不相等的實數根
（1）求k取值范圍；
（2）當k最小的整數時，求拋物線的頂點坐標以及它與x軸的交點坐標；
（3）將（2）中求得的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象．請你畫出這個新圖象，并求出新圖象與直線有三個不同公共點時m值．

Answer 1

（1）k＞-1；（2）（1，-4）；（-1，0），（3，0）；（3）畫圖見解析，1或．

解析試題分析：（1）根據一元二次方程有兩個不相等的實數根，可知根的判別式△＞0，即可求出k的取值范圍.
（2）根據k的取值范圍可得當k=0時，為k最小的整數，進而可求出頂點坐標以及它與x軸的交點坐標.
（3）由（2）畫出此函數圖象后，可發現，若直線與新函數有3個交點，可以有兩種情況：
①直線經過原二次函數與x軸的交點A（即左邊的交點），可將A點坐標代入直線的解析式中，即可求出m的值；
②原二次函數圖象x軸以下部分翻折后，所得部分圖象仍是二次函數，該二次函數與原函數開口方向相反、對稱軸相同、與x軸的交點坐標相同，可據此判斷出該函數的解析式，若直線與新函數圖象有三個交點，那么當直線與該二次函數只有一個交點時，恰好滿足這一條件，那么聯立直線與該二次函數的解析式，可化為一個關于x的一元二次方程，那么該方程的判別式△=0，根據這一條件可確定m的取值．
試題解析：（1）由題意，得，
∴k＞-1，
∴k的取值范圍為k＞-1.
（2）∵k＞-1，且k取最小的整數，∴k=0．
∴.
則拋物線的頂點坐標為（1，-4）.
∵的圖象與x軸相交，
∴，∴解得：x=-1或3.
∴拋物線與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）；
（3）翻折后所得新圖象如圖所示．

平移直線y=x+m知：直線位于l1和l2時，它與新圖象有三個不同的公共點．
①當直線位于l₁時，此時l₁過點A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1．                   
②當直線位于l₂時，此時l₂與函數的圖象有一個公共點，
∴方程x+m=-x²+2x+3，即x²-x-3+m=0有兩個相等實根.
∴△=1-4（m-3）=0，即m=．
當m=時，x₁=x₂=滿足-1≤x≤3，
由①②知m=1或m=．
考點：1.拋物線與x軸的交點；2.二次函數圖象與幾何變換；3.一元二次方程根的判別式；4.分類思想的應用．