Question

如圖，拋物線與x軸交與A（1,0）,B（- 3，0）兩點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最�。咳舸嬖冢�求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值．若沒有，請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）存在，Q（-1，2）；

（3）存在，點P坐標為（-，），S△BPC最大=；

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線解析式即可；

（2）由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=-1對稱，直線BC與x=-1的交點即為Q點，此時△QAC的周長最小，首先求出直線BC的解析式，進而得出Q點坐標即可．

（3）存在，設得點P的坐標，將△BCP的面積表示成二次函數，根據二次函數最值的方法即可求得點P的坐標；

試題解析：（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得

，

∴解得：，

∴拋物線解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）存在，

由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=-1對稱，

∴直線BC與x=-1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小

∵y=-x2-2x+3，

∵C的坐標為：（0，3），B（-3，0），設直線BC解析式為：y=kx+d，

∴，

解得：，

∴直線BC解析式為：y=x+3；

Q點坐標即為的解，

∴，

∴Q（-1，2）；

存在，如下圖：

設P點（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0）

∵S△BPC=S四邊形BPCO-S△BOC=S四邊形BPCO-，

若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大，

∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE（PE+OC）=（x+3）（-x2-2x+3）+（-x）（-x2-2x+3+3）

=（x+）2+，

當x=-時，S四邊形BPCO最大值=，

∴S△BPC最大=-＝，

當x=-時，-x2-2x+3=，

∴點P坐標為（-，）

考點：1、待定系數法；2、線段的性質；3、二次函數的性質

考點分析： 考點1：二次函數 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x 的二次函數。
①所謂二次函數就是說自變量最高次數是2;
②二次函數（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數，自變量x 的取值范圍是全體實數，b和c可以是任意實數，a是不等于0的實數，因為a=0時，變為y=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數，若b=0，則y=c是一個常數函數。
③二次函數（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯系，如果將變量y換成一個常數，那么這個二次函數就是一個一元二次函數。 二次函數的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數的一般形式的結構特征：
①函數的關系式是整式；
②自變量的最高次數是2；
③二次項系數不等于零。 二次函數的判定：
二次函數的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數；
判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是。 試題屬性

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