Question

我們知道一個圖形的性質和判定之間有著密切的聯系．比如，由等腰三角形的性質“等邊對等角”很易得到它的判定“等角對等邊”．小明在學完“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合”性質后，得到如下三個猜想：
（1）如果一個三角形一邊的中線和這邊上的高相互重合，則這個三角形是等腰三角形；
（2）如果一個三角形一邊的高和這邊所對的角的平分線相互重合，則這個三角形是等腰三角形；
（3）如果一個三角形一邊的中線和這邊所對的角的平分線相互重合，則這個三角形是等腰三角形．
我們運用線段垂直平分線的性質，很易證明猜想（1）的正確性．現請你幫助小明判斷他的猜想（2）、（3）是否成立？若成立，請結合圖形，寫出已知、求證和證明過程；若不成立，請舉反例說明．

Answer 1

解：（2）、（3）都正確．
（2）已知：在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
求證：AB=AC
證明：∵AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD，
∵AD=AD，
∴△CAD≌△BAC（ASA）
∴AB=AC，

（3）已知：在△ABC中，CD=BD，AD平分∠BAC，
求證：AB=AC
證明：作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵CD=BD，
∴Rt△CED≌Rt△BFC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
分析：（2）首先根據命題寫出已知，求證，然后根據題意，推出△CAD≌△BAC，即可推出AB=AC，（3）首先根據命題寫出已知，求證，畫出圖形，然后，作出輔助線作DE⊥AC，DF⊥AB，根據條件推出Rt△CED≌Rt△BFC，即可推出∠B=∠C，根據△ABC內，等角對等邊，即可推出AB=AC．
點評：本題主要考查等腰三角形的性質、根據命題寫已知、求證，全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、線段垂直平分線的性質的等性質定理，關鍵在于根據命題寫出已知、求證、畫出圖形．