Question

【題目】小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題做如下探究：

（問(wèn)題背景）

如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問(wèn)題的思路是：將△BCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)A、E處（如圖②），易證點(diǎn)C、A、E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，從而得出結(jié)論：AC+BC＝CD．

（簡(jiǎn)單應(yīng)用）

（1）在圖①中，若AC＝，BC＝2，則CD＝　 　．

（2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，，若AB＝10，BC＝8，求CD的長(zhǎng)．

（拓展延伸）

（3）如圖④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝a，BC＝b（a＜b），求CD的長(zhǎng)．（用含a，b的代數(shù)式表示）．

（4）如圖⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E滿足AE＝AC，CE＝CA，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）7；（3）CD＝；（4）線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是或．

【解析】

（1）由題意可知：AC+BC=CD，所以將AC與BC的長(zhǎng)度代入即可得出CD的長(zhǎng)度；

（2）連接AC、BD、AD即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第（1）問(wèn)的問(wèn)題，利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長(zhǎng)度；

（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D1，由（2）問(wèn)題可知：AC+BC=CD1；又因?yàn)?/span>CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的長(zhǎng)度；

（4）根據(jù)題意可知：點(diǎn)E的位置有兩種，分別是當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)和當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí)，連接CQ、CP后，利用（2）和（3）問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行解答．

（1）由題意可得：AC+BC＝CD，

∵，

∴，

∴；

（2）連接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°，

∵AD＝BD，

將△BCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，如圖③，

∴∠EAD＝∠DBC，

∵∠DBC+∠DAC＝180°，

∴∠EAD+∠DAC＝180°，

∴E、A、C三點(diǎn)共線，

∵AB＝10，BC＝8，

∴由勾股定理可求得：AC＝6，

∵BC＝AE，

∴CE＝AE+AC＝14，

∵∠EDA＝∠CDB，

∴∠EDA+∠ADC＝∠CDB+∠ADC，

即∠EDC＝∠ADB＝90°，

∵CD＝ED，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴CE＝CD，

∴CD＝7；

（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D1，

連接D1A，D1B，D1C，如圖④

由（2）的證明過(guò)程可知：AC+BC＝D1C，

∴，

又∵D1D是⊙O的直徑，

∴∠DCD1＝90°，

∵AC＝a，BC＝b，

∴由勾股定理可求得：AB2＝a2+b2，

∴D1D2＝AB2＝a2+b2，

∵D1C2+CD2＝D1D2，

∴CD2＝a2+b2﹣，

∵a＜b，

∴；

（4）當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí)，如圖⑤，

連接CQ，PC，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，

∴AP＝CP，∠APC＝90°，

又∵CA＝CE，點(diǎn)Q是AE的中點(diǎn)，

∴∠CQA＝90°，

設(shè)AC＝a，

∵AE＝，

∴，

∴，

由勾股定理可求得：，

由（2）的證明過(guò)程可知：AQ+CQ＝PQ，

∴，

∴，

當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)時(shí)，如圖⑥，

連接CQ、CP，

同理可知：∠AQC＝∠APC＝90°，

設(shè)AC＝a，

∴，

由勾股定理可求得：，

由（3）的結(jié)論可知：，

∴，

綜上所述，線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是或．