Question

【題目】如圖1,一次函數y=2x+4的圖象交x軸于點A,交y軸于點B,與反比例函數y= (x>0)的圖象交于點C,連OC,若S△AOC=2.

（1）求反比例函數的解析式；

（2）如圖3，點E， F分別是線段AB和線段OB上的動點，點E從點B出發，沿線段BA運動，點F從點O出發，沿線段OB運動，速度都是每秒1個單位長度。運動時間為t秒，當其中一點到達終點后，另一點也隨之停止運動.是否存在某個時刻。使得△BEF是直角三角形？若存在，求出t的值若不存在，請說明理由：

（3）如圖2，過點B作BM⊥OB交反比例函數y= (x>0)的圖象于點M，點N為反比例函數 y= (x>0)的圖象上一點，∠ABM =∠BAN，求直線AN的解析式，

Answer 1

【答案】（1）y=（2）存在某個時刻，使得△BEF是直角三角形，此時t=20-8或8-16 （3）y=

【解析】

（1）先由一次函數的解析式為y=-2x+4及x軸、y軸上點的坐標特征，求出A（2，0），B（0，4），再根據S△AOC=2，利用三角形的面積公式求出C（1，2），然后運用待定系數法即可求出反比例函數的解析式；

(2)根據題意可得：OF=t，BF＝4-t，BE=t，當△BEF是直角三角形時，有兩種情況，∠BFE=90或∠BEF＝90，再根據兩角相等證明△BEF與△BOA相似，列方程即可求出t的值

（3）由A（2，0），B（0，4），C（1，2）三點的坐標，可知C為AB的中點，如圖2，延長BM交AN的延長線于D，根據等角對等邊得到DB=DA，再連結DC，由等腰三角形三線合一的性質得出DC⊥BA，則∠DCB=∠BOA=90°，由平行線的性質易得∠DBA=∠BAO，那么△DBC∽△BAO，得出DB：BC=BA：AO，求出DB=5，得到D（5，4），然后運用待定系數法即可求出直線AN的解析式；

：

（1）∵一次函數y=-2x+4的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，
∴A（2，0），B（0，4）．
設C（m，n）．
∵S△AOC=2，
∴×2×n=2，
解得n=2．
又n=-2m+4，
∴m=1，
∴C（1，2），
所以反比例函數的解析式為y=；

（2）根據題意可得：OF=t，BF＝4-t，BE=t，（0）

在Rt△ABO中，∵A（2，0），B（0，4）則AB==2

當△BEF是直角三角形時，有兩種情況，

①當∠BFE=90時，

∴∠BFE＝∠AOB ∵∠EBF＝∠ABO

∴△BEF△BAO

∴

∴

∴t=20-8

②當∠BEF＝90時

同理可得△BEF△BOA

∴

∴

∴t=8-16

綜上所述，存在某個時刻，使得△BEF是直角三角形，此時t=20-8

或8-16

（3）∵A（2，0），B（0，4），C（1，2），
∴C為AB的中點，AO=2，BO=4，AB=2，
∴BC=．

如圖2，延長BM交AN的延長線于D，
∵∠ABM=∠BAN，
∴DB=DA，
連結DC，則DC⊥BA，
∵BM⊥OB，
∴BM∥OA，
∴∠DBA=∠BAO，
又∠DCB=∠BOA=90°，
∴△DBC∽△BAO，
∴DB：BC=BA：AO，

∴DB=5，
∴D（5，4）．
設直線AN的解析式為y=mx+b，
∵直線AN過A（2，0）、D（5，4），
∴，解得
∴直線AN的解析式為y=；