Question

如圖1，拋物線y=ax²-4ax+b經過點A（1，0），與x軸交于點B，與y軸交于點C，且OB=OC．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將△OAC沿AC翻折得到△ACE，直線AE交拋物線于點P，求點P的坐標；
（3）如圖2，點M為直線BC上一點（不與B、C重合），連OM，將OM繞O點旋轉90°，得到線段ON，是否存在這樣的點N，使點N恰好在拋物線上？若存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式，可得拋物線的對稱軸方程，進而可根據點A的坐標表示出點B的坐標，已知OB=OC，即可得到點C的坐標，從而利用待定系數法求得拋物線的解析式．
（2）點P為直線AE和拋物線的交點，欲求點P，必須先求出直線AE的解析式；設直線AE與y軸的交點為F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根據相似三角形的對應邊成比例即可得到FE=3OF，設OF=x，則EF=3x，AF=3x-1，進而可在Rt△FOA中求出x的值，也就能求出F點的坐標，然后利用待定系數法求出直線AE的解析式，聯立拋物線的解析式即可得到點P的坐標．
（3）此題應分三種情況討論：
①當點M在第一象限時，可設M（a，a-3），由于ON是由OM旋轉90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分別過M、N作MG、NH垂直于x軸，即可證得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N點的坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得點M、N的坐標；
②當點M在第三象限，④點M在第四象限時，解法同①．

解答：解：（1）由題意知：拋物線的對稱軸為：x=1，則B（3，0）；
已知OB=OC=3，則C（0，-3）；
設拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），依題意有：
a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；
故拋物線的解析式為：y=-x²+4x-3．

（2）設AE交y軸于點F；
易證得△FOA∽△FEC，有

OF

EF

=

OA

CE

=

1

3

，
設OF=x，則EF=3x，
所以FA=3x-1；
在Rt△FOA中，由勾股定理得：
（3x-1）²=x²+1，
解得x=

3

4

；
即OF=

3

4

，F（0，

3

4

）；
求得直線AE為y=-

3

4

x+

3

4

，聯立拋物線的解析式得：

y=- 3 4 x+ 3 4 y=-x2+4x-3

，
解得

x= 15 4 y=- 33 16

，

x=1 y=0

；
故點P（

15

4

，-

33

16

）．

（3）∵B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC：y=x-3；
設點M（a，a-3），則：
①當點M在第一象限時，OG=a，MG=a-3；
過M作MG⊥x軸于G，過N作NH⊥x軸于H；
根據旋轉的性質知：∠MON=90°，OM=ON，
則可證得△MOG≌△NOH，得：
OG=NH=a，OH=MG=a-3，
故N（a-3，-a），
將其代入拋物線的解析式中，得：
-（a-3）²+4（a-3）-3=-a，
整理得：a²-11a+24=0，
a=3（舍去），a=8；
故M（8，5），N（5，-8）．
②當點M在第三象限時，OG=-a，MG=3-a；
同①可得：MG=OH=3-a，OG=NH=-a，則N（3-a，a），代入拋物線的解析式可得：
-（3-a）²+4（3-a）-3=a，
整理得：a²-a=0，故a=0，a=1；
由于點M在第三象限，
所以a＜0，
故a=0、a=1均不合題意，此種情況不成立；
③當點M在第四象限時，OG=a，MG=3-a；
同①得：N（3-a，a），在②中已經求得此時a=0（舍去），a=1；
故M（1，-2），N（2，1）；
綜上可知：存在符合條件的N點，且坐標為N（2，1）或（5，-8）．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法、圖形的旋轉變化、全等三角形的判定和性質以及函數圖象上點的坐標意義等知識．需要注意的是（3）題中，由于點M的位置不確定，一定要根據點M所處的不同象限分類討論，以免漏解．