Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點P，直線BF與AD延長線交于點F，且∠AFB＝∠ABC．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若CD＝2，BP＝1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）由圓周角定理得出∠ABC=∠ADC，由已知得出∠ADC=∠AFB，證出CD∥BF，得出AB⊥BF，即可得出結論；

（2）設⊙O的半徑為r，連接OD．由垂徑定理得出PD＝PC＝CD＝，得出OP=r-1在Rt△OPD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解:（1）證明：∵弧AC＝弧AC，

∴∠ABC＝∠ADC，

∵∠AFB＝∠ABC，

∴∠ADC＝∠AFB，

∴CD∥BF，

∵CD⊥AB，

∴AB⊥BF，

∵AB是圓的直徑，

∴直線BF是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r，連接OD．如圖所示：

∵AB⊥BF，CD＝2，

∴PD＝PC＝CD＝，

∵BP＝1，

∴OP＝r﹣1

在Rt△OPD中，由勾股定理得：r2 ＝（r﹣1）2+（）2

解得：r＝3．

即⊙O的半徑為3．