Question

如圖,在矩形ABCD中,點O是邊AD上的中點,點E是邊BC上的一個動點,延長EO到F,使得OE=OF.

（1）當點E運動到什么位置時,四邊形AEDF是菱形？（直接寫出答案）

（2）若矩形ABCD的周長為20,四邊形AEDF的面積是否存在最大值？如果存在,請求出最大值;如果不存在,請說明理由．

（3）若AB=,BC=,當.滿足什么條件時,四邊形AEDF能成為一個矩形？（不必說明理由）

 

Answer 1

【答案】

（1）當點E運動到BC的中點時,四邊形AEDF是菱形;

（2）存在.當時,四邊形AEDF的面積最大為25;

（3）當m≤n時,四邊形AEDF能成為一個矩形．

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的性質得出AB=CD,∠B=∠C=90°,求出四邊形是平行四邊形,根據勾股定理求出AE=DE,即可得出答案;

（2）求出S_{四邊形AEDF}=2S_△AED=S_矩形ABCD,設AB=x,則BC=10﹣x,四邊形AEDF的面積為y,求出y=x（10﹣x）,求出二次函數的最值即可;

（3）根據矩形能推出△BAE∽△CED,得出比例式,代入得出方程,求出方程的判別式,即可得出答案．

試題解析：（1）當點E運動到BC的中點時,四邊形AEDF是菱形,

理由是：∵四邊形ABCD是矩形,

∴AB=CD,∠B=∠C=90°,

∵E為BC中點,

∴BE=CE,

由勾股定理得：AE=DE,

∵點O是邊AD上的中點,OE=OF,

∴四邊形AEDF是平行四邊形,

∴平行四邊形AEDF是菱形;

（2）存在.

∵點O是AD的中點,

∴AO=DO ,

∵OE=OF,

∴四邊形AEDF是平行四邊形 ,

∴ ,

設AB=,則BC=,四邊形AEDF的面積為,

當時,四邊形AEDF的面積最大為25;

（3）當m≤n時,四邊形AEDF能成為一個矩形,

理由是：設BE=z,則CE=n﹣z,

當四邊形AEDF是矩形時,∠AED=90°,

∵∠B=∠C=90°,

∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠DEC=90°,

∴∠BAE=∠DEC,

∴△BAE∽△CED,

∴,

∴,

∴z²﹣nz+m²=0,

當判別式△=（﹣n）²﹣4m²≥0時,方程有根,即四邊形AEDF是矩形,

解得：m≤n,

∴當m≤n時,四邊形AEDF能成為一個矩形．

考點：四邊形綜合題．