Question

【題目】如圖，點I是△ABC的內心，AI的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，與BC相交于點E．

（1）求證：DI=DB；

（2）若AE=6cm，ED=4cm，求線段DI的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2cm.

【解析】

（1）要證明ID=BD，只要求得∠BID=∠IBD即可；

（2）根據相似三角形的判定得出△BDE∽△ABD，進而利用相似三角形的性質解答即可.

（1）證明：連接BI．

∵點I是△ABC的內心，

∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI．

又∵∠DBI=∠CBI+∠DBC，∠DIB=∠ABI+∠BAI，

∠DBC=∠DAC=∠BAI，

∴∠DBI=∠DIB，

∴DI=DB．

（2）∵∠DBC=∠DAC=∠BAI，∠ADB=∠BDA，

∴△BDE∽△ABD，

∴，

即BD2=DEAD=DE（AE+DE）=4×（6+4）=40，

DI=BD=（cm）．