Question

如圖，在銳角三角形ABC中，BC=10，BC邊上的高AM=6，D，E分別是邊AB，AC上的兩個動點（D不與A，B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點A的異側作正方形DEFG．

（1）因為________，所以△ADE∽△ABC．
（2）如圖1，當正方形DEFG的邊GF在BC上時，求正方形DEFG的邊長；
（3）設DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y．
①如圖2，當正方形DEFG在△ABC的內部時，求y關于x的函數關系式，寫出x的取值范圍；
②如圖3，當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，求y關于x的函數關系式，寫出x的取值范圍；
③當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC；

（2）當正方形DEFG的邊GF在BC上時，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
而AN=AM-MN=AM-DE，
∴，
解之得，
∴當正方形DEFG的邊GF在BC上時，正方形DEFG的邊長為；

（3）①當正方形DEFG在△ABC的內部時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，
∵DE=x，
∴y=x²，
此時x的范圍是0＜x≤；
②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
而AN=AM-MN=AM-EP，
∴，
解得．
所以，
即，
此時；
③當0＜x≤時，
△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值，
當時，
，
=
∴當x=5時，y有最大值為15，
∵14.0625＜15
∴△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為15．
分析：（1）有平行于三角形一邊的直線截另兩邊所構成的三角形與原三角形相似，可知因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC；
（2）由相似三角形的對應邊成比例，可得，又由正方形DEFG的各邊都相等，即可求得DE的長，即正方形DEFG的邊長；
（3）①由正方形DEFG在△ABC的內部，可得△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，根據正方形面積的求解方法，易得y=x²；②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，由△ADE∽△ABC，根據相似三角形對應邊成比例，可得；
③分別求解①與②中的最大值，比較后即可求得y的最大值．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及正方形的性質與二次函數的性質．此題綜合性很強，解題時要仔細分析．