Question

閱讀材料并解答問題：
與正三角形各邊都相切的圓叫做正三角形的內切圓，與正四邊形各邊都相切的圓叫做正四邊形的內切圓，與正n邊形各邊都相切的圓叫做正n邊形的內切圓，設正n（n≥3）邊形的面積為S_正n邊形，其內切圓的半徑為r，試探索正n邊形的面積．

（1）如圖1，當n=3時，設AB切⊙P于點C，連接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=

1

2

∠AOB，∴AB=2BC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=

1

2

•

360°

3

=60°，OC=r，
∴AC=r•tan60°，∴AB=2r•tan60°，
∴S_△OAB=

1

2

•r•2r•tan60°=r²tan60°，
∴S_正三角形=3S_△OAB=3r²•tan60度．
（2）如圖2，當n=4時，仿照（1）中的方法和過程可求得：S_正四邊形=4S_△OAB=

 

；
（3）如圖3，當n=5時，仿照（1）中的方法和過程求S_正五邊形；
（4）如圖4，根據以上探索過程，請直接寫出S_正n邊形=

 

．

Answer 1

分析：根據正n邊形倍所有的半徑分割成了n個全等三角形，只需首先計算其中一個三角形的面積．根據其邊心距結合銳角三角函數表示出正多邊形的邊長，再根據三角形的面積公式進行計算，進一步得到其正多邊形的面積．

解答：解：（2）4r²tan45°．（2分）

（3）如圖，當n=5時，設AB切⊙O于點C，連接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，∵OA=OB，
∵∠AOC=

1

2

•

360°

5

=36°，OC=r，（3分）
∴AC=r•tan36°，∴AB=2r•tan36°，（4分）
∴S_△OAB=

1

2

•r•2r•tan36°=r²tan36°，（4分）
∴S_正五邊形=5S_△OAB=5r²•tan36°．（6分）

（4）nr²tan

180°

n

．（8分）

點評：能夠熟練運用銳角三角函數進行求解．注意：正n邊形的半邊所對的角是中心角的一半，即

180°

n

．