Question

“任意給定一個矩形A，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的三分之一？”（完成下列空格）
（1）當已知矩形A的邊長分別3和1時，小明是這樣研究的：設所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組：

x+y= 4 3 xy=1

，
消去y化簡得：3x²-4x+3=0
∵b²-4ac=16-36=-20＜0
∴故方程

 

．∴滿足要求的矩形B

 

（填不存在或存在）．
若已知矩形A的邊長分別為10和1，請仿照小明的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．若存在，求矩形B的長和寬，若不存在，說明理由．
（2）如果矩形A的邊長為a和b，請你研究滿足什么條件時，矩形B存在？并求此時矩形B的長．

Answer 1

分析：（1）因為判別式＜0，故方程無解，不粗在矩形．假設存在，根據另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的三分之一可列出方程組求解．
（2）設此時矩形B的長是x，寬是y，根據周長和面積分別是已知矩形周長和面積的三分之一列出方程組，讓判別式＞0，并求出長．

解答：解：（1）無解；不存在．…（2分）；
設長是x，寬是y，

x+y= 11 3 xy= 10 3

，

x=2 y= 5 3

，
存在矩形B，它的長為2，寬為

5

3

…（6分）
（2）設此時矩形B的長是x，寬是y，

x+y= a+b 3 xy= ab 3

，
當a²+b²≥10ab時，矩形B存在，…（11分）
此時它的長

a+b+ a2+b2-10ab

6

，…（13分）

點評：本題考查理解題意的能力，關鍵知道矩形B是矩形A的周長和面積的三分之一，從而可列方程組，求解的情況．