Question

【題目】在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，E、F 是對角線 AC 上的兩個動點，分 別從 A、C 同時出發相向而行，速度均為每秒 1 個單位長度，運動時間為 t 秒，其中 0 t 5 ．

（1）若 G，H 分別是 AB，DC 中點，求證：四邊形 EGFH 是平行四邊形（E、F 相遇時除外）；

（2）在（1）條件下，若四邊形 EGFH 為矩形，求 t 的值；

（3）若 G，H 分別是折線 A－B－C，C－D－A 上的動點，與 E，F 相同的速度同時出發，若 四邊形 EGFH 為菱形，求 t 的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）0.5或4.5；（3）

【解析】

（1）根據勾股定理求出AC，證明△AFG≌△CEH，根據全等三角形的性質得到GF=HE，同理得到GE=HF，根據平行四邊形的判定定理證明；

（2）分AE=CF、AE=CF兩種情況，根據矩形的性質計算即可；

（3）連接AG、CH，判定四邊形AGCH是菱形，得到AG=CG，根據勾股定理求出BG，得到AB+BG的長，根據題意解答．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，

∴AC=，∠GAF=∠HCE，

∵G，H分別是AB，DC中點，

∴AG=BG，CH=DH，

∴AG=CH，

∵AE=CF，

∴AF=CE，

在△AFG和△CEH中，

，

∴△AFG≌△CEH（SAS），

∴GF=HE，

同理：GE=HF，

∴四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）解：由（1）得：BG=CH，BG∥CH，

∴四邊形BCHG是平行四邊形，

∴GH=BC=4，當EF=GH=4時，平行四邊形EGFH是矩形，

分兩種情況：①AE=CF=t，EF=5-2t=4，

解得：t=0.5；

②AE=CF=t，EF=5-2（5-t）=4，

解得：t=4.5；

綜上所述：當t為0.5s或4.5s時，四邊形EGFH為矩形；

（3）解：連接AG、CH，如圖所示：

∵四邊形EGFH為菱形，

∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，

∴OA=OC，AG=AH，

∴四邊形AGCH是菱形，

∴AG=CG，

設AG=CG=x，則BG=4-x，

由勾股定理得：AB2+BG2=AG2，

即32+（4-x）2=x2，

解得，x=，

∴BG==，

∴AB+BG=3+=，

∴t為時，四邊形EGFH為菱形．