Question

【題目】問題情境：如圖1，點D是△ABC外的一點，點E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE.試探究∠D與∠A的數量關系.

(1)特例探究：

如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝；

如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝；這兩個圖中，與∠A度數的比是 ；

(2)猜想證明：

如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結論；若不成立，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)、30°；50°；1:2；(2)、成立；證明過程見解析

【解析】

試題分析：(1)、根據三角形內角和定理以及角平分線的性質分別求出∠D的度數，從而得出∠A和∠D的比值；(2)、根據平分線得出∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCE，根據外角的性質得出∠ACE=∠ABC＋∠A，∠DCE＝∠DBC＋∠D，從而得出答案.

試題解析：(1)、30；50；1：2；

(2)、成立.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，

∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，

∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠DCE＝∠DBC＋∠D，∵2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），

∴∠D＝∠A，即∠D：∠A＝1:2