Question

已知關于x的一元二次方程的兩根是一個矩形兩鄰邊的長．
（1）m取何值時，方程有兩個正實數根；
（2）當矩形的對角線長為時，求m的值．

Answer 1

解：（1）設矩形兩鄰邊的長為a，b，
∵關于x的一元二次方程的兩根是一個矩形兩鄰邊的長，
∴△≥0，即（m+1）²-4（m²+1）≥0，解得m≥，
a+b=m+1＞0，ab=m²+1＞0，解得m＞-1，
∴m≥時，方程有兩個正實數根；
（2）∵矩形的對角線長為，
∴a²+b²=（）²，
∴（a+b）²-2ab=5，
∴（m+1）²-2（m²+1）=5，
即m²+4m-12=0，
解得m₁=2，m₂=-6，
∵m≥，
∴m=2，
所以當矩形的對角線長為時，m的值為2．
分析：（1）設矩形兩鄰邊的長為a，b，根據△的意義得到△≥0，即（m+1）²-4（m²+1）≥0，解得m≥，而a、b都是正數，利用一元二次方程根與系數的關系有a+b=m+1＞0，ab=m²+1＞0，可解得m＞-1，綜合可得到m的取值范圍；
（2）根據矩形的性質和勾股定理得到a²+b²=（）²，變形有（a+b）²-2ab=5，把a+b=m+1，ab=m²+1代入得（m+1）²-2（m²+1）=5，整理得到m²+4m-12=0，解方程得到m₁=2，m₂=-6，然后即可得到符合條件的m的值．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＞0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程根與系數的關系、勾股定理以及矩形的性質．