Question

如圖，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，弦AG⊥弦BC于F點，連EF，CD與AG相交于M點，則下列結論：①BD=BG；②DE=EM；③∠ACD=∠AFE；④AF=BF，其中正確的有

①②③

（填序號）．

Answer 1

分析：連結AD、BD、BG，如圖，由AB⊥CD，AG⊥BC得到∠CEB=∠AFB=90°，根據等角的余角相等得到∠ECB=∠BAF，則弧BD=弧BG，根據圓心角、弧、弦的關系得到BD=BG；根據圓周角定理得∠DAB=∠DCB，則∠DAB=∠BAG，加上AE⊥MD，則可判斷△ADM為等腰三角形，所以DE=EM；由于∠CFA=∠AEC=90°，根據圓周角定義得到點E和點F在以AC為直徑的圓上，則∠ACE=∠AFE；由于∠B不能確定為45°，則可得到AF與BF不一定相等．

解答：解：連結AD、BD、BG，如圖，
∵AB⊥CD，AG⊥BC，
∴∠CEB=∠AFB=90°，
∴∠ECB+∠B=90°，∠BAF+∠B=90°，
∴∠ECB=∠BAF，即∠DCB=∠BAG，
∴弧BD=弧BG，
∴BD=BG，所以①正確；
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠DAB=∠BAG，即∠DAE=∠MAE，
∵AE⊥MD，
∴△ADM為等腰三角形，
∴DE=EM，所以②正確；
∵∠CFA=∠AEC=90°，
∴點E和點F在以AC為直徑的圓上，
∴∠ACE=∠AFE，所以③正確；
∵∠B不能確定為45°，
∴△FAB不能確定為等腰直角三角形，
∴AF與BF不一定相等，所以④錯誤．
故答案為①②③．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質．