Question

如圖1，直線y=x+4及直線y=-2x+4與坐標軸交于A、B、C三點．
（1）若過C點直線L平分△ABC的面積，求直線L的解析式．
（2）如圖2，以BC為斜邊作等腰直角△BCD，求四邊形ABDC的面積．
（3）如圖3，M為線段AB上一動點，過點M作MN∥AC交BC于點N，當△CMN的面積為3時，求點M的坐標．

Answer 1

（1）當x=0時，
y=4．
∴C（0，4）．
∴OC=4
當y=0時，則
0=x+4，0=-2x+4，
∴x=-4或x=2，
∴A（-4，0），B（2，0），
∴OA=4，OB=2，
∴AB=6．
∵過C點直線L平分△ABC的面積，
∴L經過AB的中點E，
∴AE=3，
∴E（-1，0）．
設L的解析式為y=kx+b，由題意，得

4=b 0=-k+b

，
解得：

k=4 b=4

，
∴直線L的解析式為：y=4x+4．
（2）在Rt△BOC中，由勾股定理，得
BC=

16+4

=2

5

，
設DC=x，則BD=x，在Rt△BCD中，由勾股定理，得
2x²=20，
x²=10．
∴S_△BCD=

1

2

x²=5．
∵S△ABC=

4×6

2

=12，
∴S_{四邊形ABDC}=5+12=17．
（3）作MG∥BC交AC于G，則四邊形MNCG是平行四邊形，
∵△CMN的面積為3，
∴S_{平行四邊形MNCG}=6，S_△AMG+S_△MBN=S_△ABC-S_{平行四邊形MNCG}=12-6=6，
設BM=x，則AM=6-x，
∵MN∥AC，
∴△ABC∽△MBN，
∴

SMBN

S△ABC

=（

MB

AB

）²=（

x

6

）²=

x2

36

…①，
同理：

S△AMC

S△ABC

=

(6-x)2

36

…②，
①+②得：

6

12

=

x2

36

+

(6-x)2

36

，
解得：x=3，
∵B（2，0），即OB=2，
∴OM=1，
則M的坐標是（-1，0）．