Question

（本題12分）如圖，二次函數的圖象與x軸交于兩個不同的點A（－2，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，3），連結BC、AC，該二次函數圖象的對稱軸與x軸相交于點D．

（1）求這個二次函數的解析式、點D的坐標及直線BC的函數解析式；

（2）點Q在線段BC上，使得以點Q、D、B為頂點的三角形與△相似，求出點Q的坐標；

（3）在（2）的條件下，若存在點Q，請任選一個Q點求出△外接圓圓心的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1）D（1，0）（2）Q（2，）或（，）（3）M（，）

【解析】

試題分析：解：（1）由題意，設二次函數為

把點C（0，3）代入得：

所以這個二次函數的解析式是　……2分

因為，所以拋物線的對稱軸是直線，點D的坐標為（1，0）．　…………1分

由待定系數法得直線BC的解析式為．　………… 1分

（2）因為A（－2，0），B（4，0），C（0，3），D（1，0）．

所以OD=1，BD=3，CO=3，BO=4，AB=6，BC==5.

①  如圖1，當時，,即,得.

過點Q作軸于點H，則QH∥CO.所以.解得.

把代入，得．

所以，此時，點Q的坐標為（2，）．　…………　2分

②如圖2，當時，,即,得．

過點Q作軸于點G，則QG∥CO.所以.解得．

把代入，得．

所以，此時，點Q的坐標為（，）．…………2分

綜上所述，點Q坐標為（2，）或（，）．

（3）當點Q的坐標為（2，）時，設圓心的M（，）．

由MD=MQ，得.

解得，則M（，）．　………… 4分

考點：本題考查了二次函數的性質

點評：此類試題屬于難度一般的試題，考生在解答此類試題時一定要對二次函數的頂點坐標公式熟練把握和運用