Question

【題目】探究題．

已知:如圖．

求證:

老師要求學生在完成這道教材上的題目證明后，嘗試對圖形進行變式，繼續做拓展探究，看看有什么新發現？

（1）小穎首先完成了對這道題的證明，在證明過程中她用到了平行線的一條性質，小穎用到的平行線性質可能是_________．

（2）接下來，小穎用《幾何畫板》對圖形進行了變式，她先畫了兩條平行線然后在平行線間畫了一點，連接后，用鼠標拖動點分別得到了圖①②③，小穎發現圖②正是上面題目的原型，于是她由上題的結論猜想到圖①和③中的與之間也可能存在著某種數量關系于是她利用《幾何畫板》的度量與計算功能，找到了這三個角之間的數量關系．

請你在小穎操作探究的基礎上，繼續完成下面的問題：

①猜想圖①中與之間的數量關系并加以證明：

②補全圖③，直接寫出與之間的數量關系：_______．

（3）學以致用：一個小區大門欄桿的平面示意圖如圖所示，垂直地面于平行于地面

，若，則_______．

Answer 1

【答案】（1）兩直線平行同旁內角互補；（2）①∠BDF=∠B+∠F．理由見解析；②∠F=∠D+∠F；（3）120°．

【解析】

（1）利用平行線的性質證明即可．
（2）①結論：∠BDF=∠B+∠F．如圖①中，作DK∥AB．利用平行線的性質證明即可．
②如圖③中，結論：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．利用平行線的性質以及三角形的外角的性質證明即可．
（3）利用圖1中的結論，計算即可．

（1）證明：如圖1中，

∵AB∥EF，CD∥EF，
∴CD∥EF，
∴∠B+∠CDB=180°，∠F+∠CDF=180°（兩直線平行同旁內角互補），
∴∠B+∠CDB+∠CDF+∠F=360°，
∴∠B+∠BDF+∠F=360°，
故答案為：兩直線平行同旁內角互補．
（2）解：①結論：∠BDF=∠B+∠F．
理由：如圖①中，作DK∥AB．

∵AB∥DK，AB∥EF，
∴DK∥EF，
∴∠B=∠BDK，∠F=∠FDK，
∴∠BDF=∠BDK+∠FDK=∠B+∠F．
②如圖③中，結論：∠F=∠D+∠B．（答案不唯一）．

理由：∵AB∥EF，
∴∠1=∠F，
∵∠1=∠B+∠D，
∴∠F=∠D+∠B．
故答案為∠F=∠D+∠F．
（3）解：如圖2中，

∵BA⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵∠ABC+∠BAE+∠BCD=360°，∠BCD=150°，
∴∠ABC=360°-240°=120°，
故答案為120°．