Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，點E為BC的中點，以CE為弦作圓，設該圓與四邊形ABCD的一邊的交點為P，若∠CPE＝30°，則EP的長為_____．

Answer 1

【答案】或4或2或2

【解析】

如圖，連接AC，AE，根據已知條件得到△ABC是等邊三角形，求得BE=CE=2，AE⊥BC，∠EAC=30°，推出AC是以CE為弦的圓的直徑，設圓心為O，當⊙O與CD邊交于，則，過C作于H，解直角三角形得到；當⊙O與AD交于，A()，由AD∥CE，推出四邊形是矩形，得到，P3E=CE=2，當⊙O與AB交于，得到是等邊三角形，求得，于是得到結論．

如圖，連接AC，AE，

∵AB=BC=4，∠B=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵點E為BC的中點，

∴BE=CE=2，AE⊥BC，∠EAC=30°，

∴AC是以CE為弦的圓的直徑，

設圓心為O，

當⊙O與CD邊交于P1，則∠EP1C=∠EAC=30°，

∵∠ECP1=105°，

∴∠P1EC=45°，

過C作CH⊥P1E于H，

∴EH=CH=CE=，

∴P1H=HC=，

∴；

當⊙O與AD交于P2、A(P3)，

∵AD∥CE，

∴∠ECP2=∠AP2C=90°，

∴四邊形AECP2是矩形，

∴P2E=AC=4，P3E=CE=2，

當⊙O與AB交于P4，

∵∠AP4C=90°，∠EP4C=30°，

∴∠BP4E=60°，

∴△BP4E是等邊三角形，

∴P4E=BE=2，

綜上所述，若∠CPE=30°，則EP的長為或4或2或2，

故答案為：或4或2或2．