Question

如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標（3，3），將正方形ABCO繞點A順時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P，連AP、AG．
（1）求證：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度數；并判斷線段OG、PG、BP之間的數量關系，說明理由；
（3）當∠1=∠2時，一次函數y=kx+b經過點P、E，求它的解析式．

Answer 1

（1）證明：∵∠AOG=∠ADG=90°，
在Rt△AOG和Rt△ADG中，
，
∴△AOG≌△ADG（HL）；

（2）解：PG=OG+BP．
由（1）同理可證△ADP≌△ABP，
則∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，
又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，
故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，
∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，
∴DG=OG，DP=BP，
∴PG=DG+DP=OG+BP；

（3）解：∵△AOG≌△ADG，
∴∠AGO=∠AGD，
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，
∴∠1=∠2=30°，
在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，則G點坐標為：（，0），
CG=3-，在Rt△PCG中，
PC===3-3，
則P點坐標為：（3，3-3），
因為，一次函數y=kx+b經過點P、E，
則，
解得，
所以，一次函數的解析式為y=x-3．
分析：（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可證△AOG≌△ADG；
（2）利用（1）的方法，同理可證△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度數；根據兩對全等三角形的性質，可得出線段OG、PG、BP之間的數量關系；
（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，當∠1=∠2時，可證∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，確定P、G兩點坐標，得出直線PE的解析式．
點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是根據正方形的性質證明三角形全等，根據三角形全等的性質求角、邊的關系，利用特殊角解直角三角形，求P、G兩點坐標，確定直線解析式．